常用数学公式

1常用数学公式一、乘法与因式分解公式1.11.21.4二、三角不等式2.12.22.32.42.6三、一元二次方程的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：2四、某些数列的前n项和4.24.34.7五、二项式展开公式六、三角函数公式1两角和公式6.16.232倍角公式6.56.63半角公式4和差化积4七、导数与微分1求导与微分法则2导数及微分公式56八、不定积分表（基本积分）7二、因式分解在第一章中，我們知道兩個x的一次式乘積展開後成為x的二次多項式。反過來說，如果能將一個x的二次式寫成兩個x的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解。此時，這兩個一次式都稱為二次多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式。在高中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這種過程也稱為這個多項式的因式分解。例如：22xx=(1)(2)xx326116xxx=(1)(2)(3)xxx在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。因式分解乘積展開因式分解乘積展開8現在來介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式。2-1提公因式【從各項提公因式】如果發現每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。【範例1】因式分解下列多項式：(1)25xx(2)2()2()abab(3)23(2)(2)xyyx【解】(1)25xx=5xxx=(5)xx(2)2()2()abab=(ab)(ab)2(ab)=(ab)[(ab)2]=(ab)(ab2)(3)23(2)(2)xyyx=23(2)(2)xyxy=2(2)[1(2)]xyxy=2(2)(12)xyxy【分組提公因式】當各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，使得每組之間有公因式。【範例2】因式分解下列多項式：(1)321xxx(2)25410xyxy(3)22323axxax(4)222(1)()xyzzxy【解】(1)321xxx=2(1)(1)xxx9=2(1)(1)xx(2)方法一：25410xyxy=(25)(410)xyxy=(25)2(25)xyy=(25)(2)yx方法二：25410xyxy=(24)(510)xyyx（交換律）=2(2)5(2)yxx=(2)(25)xy(3)方法一：22323axxax=2(23)(23)axxax=(23)(23)xaxax=(23)(1)axx方法二：22323axxax=2(22)(33)axaxx=2(1)3(1)axxx=(1)(23)xax(4)可嘗試去括號展開後，再重新分組。222(1)()xyzzxy=222xyxyzzxzy=222()()xyzxxyzzy=()()xyzxyzxzy=()()xyxzyzyxz=()()yxzxyz從上面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解。【拆項後分組提公因式】10有時候，可嘗試先將多項式中某一項拆開後，再利用分組提公因式。【範例3】因式分解下列多項式：(1)43221xxxx(2)432332xxxx【解】(1)43221xxxx=22431xxxxx2222()xxx=222(1)(1)xxxxx=22(1)(1)xxx(2)243332xxxx=24233322xxxxx222)2(xxx=222(32)(32)xxxxx=22(32)(1)xxx=(1)(2)(1)(1)xxxx=2(1)(2)(1)xxx事實上，範例3的第(2)題也可用分組的方式來因式分解：432332xxxx=(x4x22)(3x33x)=(x21)(x22)3x(x21)=(x21)(x23x2)=(x1)(x1)(x1)(x2)=(x1)2(x2)(x1)【類題練習】因式分解下列多項式：(1)432655xxxx(2)4327136xxxx【家庭作業】11因式分解下列多項式：1.2236abab2.(2)(3)4(2)(3)abab3.23(3)(3)aaa4.263abab5.222(1)()xyzzxy6.2252xx7.43222xxxx8.xabbxax32)()(9.)14)(2()2(23xxxx10.12223xxx122-2十字交乘法因為大家都已熟悉十字交乘法，所以在這裡只舉例，而不做文字說明。【二次三項式】【範例1】因式分解下列多項式：(1)290xx(2)22615xyxy【解】(1)290xx=(9)(10)xx(2)22615xyxy=(35)(23)xyxy【類題練習】因式分解下列多項式：(1)25251xx(2)2380xx【家庭作業】因式分解下列多項式：1.25510xx2.2()axabxb3.22()3()5xyyx4.29354xx5.22714105aabb6.2441312xx7.()(4)12abab8.7)(3)1(222xxxx9.xyyxyx6)4)(4(910xx3523xyxy132-3利用乘法公式對於某些多項式，我們可直接利用乘法公式來做因式分解。【完全平方】222()2abaabb222()2abaabb【範例1】因式分解下列各式：(1)269aa(2)224129xxyy(3)22(2)6(2)()9()xyxyyxxy【解】(1)269aa=22233aa=2(3)a(2)224129xxyy=22(2)2(2)(3)(3)xxyy=2(23)xy(3)22(2)6(2)()9()xyxyyxxy=22(2)2(2)[3()][3()]xyxyxyxy=2[(2)3()]xyxy=2(25)xy（或寫成2(25)xy）【平方差】22()()ababab【範例2】因式分解下列各式：(1)22(2)xxy(2)29(2)a(3)2222xyyzz【解】(1)22(2)xxy=[(2)][(2)]xxyxxy=(2)(2)xxyxxy=(22)(2)xyy=2()(2)xyy14=4()yxy(2)29(2)a=223(2)a=[3(2)][3(2)]aa=(32)(32)aa=(5)(1)aa(3)2222xyyzz=222(2)xyyzz=22()xyz=[()][()]xyzxyz=()()xyzxyz【立方差、立方和】22()()abaabb=33ab22()()abaabb=33ab【範例3】因式分解下列各式：(1)31x(2)338ab(3)66xy【解】(1)31x=331x=22(1)(11)xxx=2(1)(1)xxx(2)338ab=33(2)ab=22[(2)][(2)(2)]abaabb=22(2)(24)abaabb(3)66xy=3232()()xy=3333()()xyxy=2222()()()()xyxxyyxyxxyy【類題練習1】因式分解下列各式：(1)322xx(2)6664ab15在範例3的第(3)題中，也可以將66xy寫成2323()()xy，因此得到：66xy=2323()()xy=22222222()[()()]xyxxyy=224224()()xyxxyy顯然的，4224xxyy可以再分解，我們將在下一個單元裡，介紹它的分解方法。【配方法】利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項式的因式分解，這裡需要一些拆項(分項)或補項(加減項)的技巧，要多練習。【範例4】因式分解下列多項式：(1)421aa(2)42951xx【解】(1)421aa=42221aaa=42221aaa=222(1)aa=22(1)(1)aaaa=22(1)(1)aaaa(2)42951xx=422961xxx=422961xxx=222(31)xx=22(31)(31)xxxx=22(31)(31)xxxx事實上，在範例4的第(1)題中，所見到的22(1)(1)aaaa=421aa16也是一個常見的乘法公式。【類題練習2】因式分解下列各式：(1)4224aabb(2)429114xx【範例5】因式分解下列多項式：(1)33xy(2)44x【解】(1)雖然可以直接引用立方差公式來因式分解33xy，我們也可以用補項的概念來因式分解。33xy=3223223333xxyxyyxyxy=3()3()xyxyxy=2()[()3]xyxyxy=22()(23)xyxxyyxy=22()()xyxxyy(2)很顯然，44x無法直接使用平方差公式來分解。所以，我們嘗試用補項的方法來克服困難。44x=422444xxx=222(2)(2)xx=22(22)(22)xxxx=22(22)(22)xxxx在國中時期，因為我們要求因式分解後的各個因式的係數皆為有理數，所以有些二次式無法分解。如果允許因式的係數可為任意實數，那麼我們就可以用配方法來分解它。【範例6】因式分解241xx。【解】241xx=24441xx=2(2)3x=22(2)(3)x=(23)(23)xx17【類題練習3】利用配方法的技巧，來因式分解下列各式：(1)33xy(2)464x(3)289xx【家庭作業】因式分解下列各式：1.2218x2.21(3)4a3.224()4()xxbaab4.33216xy5.3236xx6.422561aa7.4224816aabb8.22269xyyzz9.22(1)(1)4abab10.31258x三角函数及反三角函数知识重点：1、三角函数定义、图像、性质（单调性、单调区间、奇偶性、周期性）2、重点掌握三角函数公式：（1）诱导公式（2）两角和差公式（3）倍角公式（4）万能公式（5）积化和差、和差化积公式（6）)sin(cossin22xbaxbxay其中abtg3、掌握)sin(xAy的周期、最值、单调区间、平移伸缩变换4、三角变换的三条原则：（1）降低式子的次数：常用公式2cos12sin2，2cos12cos2降次，因式分解（或配方）也是常用方法（注：为了达到约分和化同名同角的目的，有时也需升次）（2）减少式中角的种数①造特殊角（60,45,30等）②寻找不同角间的关系（互补、互余、或和、差、倍、半等）③利用已知条件中角的关系（如三角形内角和为180等）（3）减少式中三角函数的种类常用方法：切割化弦5、三角形中的边角关系：（1）CBA18（2）正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（2R为ABC外接圆直径）（3）余弦定理：Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22