疾走食肉恐龙捕食问题

疾走食肉恐龙捕食问题摘要本文主要讨论疾走食肉恐龙捕食双足食草恐龙的策略以及双足食草恐龙相应的逃跑策略。分两种情况：第一种是在疾走食肉恐龙是孤单的追捕者的情况下来分析；第二种是在两只疾走食肉恐龙同时进行追捕的情况下来分析。在第一种情况下，我们主要分析三种策略：直线追捕策略、斜角度追捕策略、先直线后转弯追捕策略，相应地就有直线逃跑策略，斜角度逃跑策略、先直线后转弯追捕策略。在第二种情况下，由于当三只恐龙初始位置在同一直线上的情况已经有人分析得很透彻了，在本文中我们不再做仔细的研究，而我们主要讨论三角追捕和逃跑策略，即在三只恐龙的初始位置呈三角形的情况下的追捕和逃跑策略。在疾走食肉恐龙追捕和双足食草恐龙逃跑的过程中，我们考虑的影响因素有：疾走食肉恐龙全速追捕时的速度、双足食草恐龙全速逃跑时的速度、双足食草恐龙开始逃跑时两恐龙之间的距离、一次全速追捕的最长时间、双足食草恐龙的反应时间、两种恐龙的不同的灵活性（即转弯半径）、两种恐龙在追捕或者逃跑过程中转弯的角度关系、双足食草恐龙被捕或者成功逃跑的概率等等。通过对这些因素的研究和整合来建立模型，并通过模拟具体的数据和其他文献中相关的数据信息来检验和分析每种策略的可行性，使追捕策略或者逃跑策略取得较高的成功率。关键词：捕食策略、逃跑策略、追捕、转弯一、问题重述成年的疾走食肉恐龙一般身长3米，髋高0.5米，重约45公斤，以每小时60公里的速度可持续奔跑约15秒钟，但是在以这样的速度冲刺之后，它需要停下来，通过在肌肉里增加乳酸使得体力恢复。假定疾走食肉恐龙捕食与自己体型几乎相同的一种双足食草恐龙（Thescelosaurusneglectus），双足食草恐龙能以每小时50公里的速度长时间奔跑。第一问：假设疾走食肉恐龙是孤单的捕猎者，建立数学模型，描述一只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。假设双足食草恐龙在相距15米之内一定能觉察到疾走食肉恐龙，依赖于环境和气候条件可以在更大的范围内（一直到50米）觉察到。另外，由于身体结构和力量的缘故，疾走食肉恐龙在全速奔跑时的转弯半径是有限的，据估计，该半径是髋高的三倍。而双足食草恐龙却极其灵活，转弯半径仅为0.5米。第二问：更符合实际地假设疾走食肉恐龙成对地去捕猎，建立新的模型，描述两只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。继续使用第一问给出的其他假设。二、问题分析第一个问题要求我们建立数学模型来分别描述一只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略以及被捕食者的逃避策略，第二个问题要求我们建立新的模型来描述两只疾走食肉恐龙潜随和追猎一只双足食草恐龙的捕猎策略，以及被捕食者的逃避策略。在疾走食肉恐龙潜随和追捕的过程中，它追捕的成功与否会受到疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的体形差别、体形对奔跑速度的影响、饥饿程度对速度的影响、双足食草恐龙觉察到危险时两者之间的距离、环境和气候条件、双足食草恐龙的反应时间、疾走食肉恐龙是否以最大速度追捕、双足食草恐龙是否以最大速度逃跑、双足食草恐龙以怎样的路线逃跑、疾走食肉恐龙以怎样的路线追捕、疾走食肉恐龙和双足食草恐龙转弯时的灵活性、由直线奔跑到转弯之间的惯性、追捕过程的持续时间等因素的影响。如果所有的可能因素都考虑到，我们就无法建立较好的数学模型。因此，我们需要把问题简单化，提出以下合理的假设：1.疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的体形相当；2.体形和饥饿程度对奔跑的速度的影响不大，可以忽略；3.环境和气候条件使得双足食草恐龙能在50米以内觉察到危险；4.在追捕的过程中，两种恐龙均以最大速度奔跑；5.整个追捕过程的持续时间最长为15秒，在15秒之后，追捕结束。6.考虑到反应时间时，以人的反应时间0.1s来进行近似的处理。7.反应时间不包含在追捕过程所用的时间内。8.追捕的地点是在广阔的平原地带，追捕不会受到任何障碍；9.疾走食肉恐龙和双足食草恐龙的加速时间可以忽略；三、符号说明疾走食肉恐龙Velo双足食草恐龙Thes疾走食肉恐龙追捕的最大速度1V双足食草恐龙逃跑的最大速度2V疾走食肉恐龙的反应时间1T双足食草恐龙的反应时间2T追捕过程持续的最长时间T疾走食肉恐龙成功追捕到双足食草恐龙所用的时间3T双足食草恐龙觉察时两者之间的距离0D双足食草恐龙安全转弯的最小距离minD疾走食肉恐龙的转弯半径1R双足食草恐龙的转弯半径2R疾走食肉恐龙斜角追捕时的角度1双足食草恐龙斜角逃跑时的角度2疾走食肉恐龙转弯时与恢复直线追捕时的夹角双足食草恐龙转弯时与恢复直线逃跑时的夹角由题目可知，我们有：s/m350V1（即60km/h）s/m9125V2（即50km/h）15sT1T=2T0.1s50mDm150m5.1R1m5.0R2四、模型建立与求解（1）Velo是孤单的追捕者策略一：Thes发现Velo后，直接沿着远离Velo的直线逃跑，Velo也沿着直线向前追。先假设Velo能够成功捕捉到Thes，，Velo成功捕捉到Thes所用的时间3T15s，分以下两种情况来讨论：1.不考虑Thes和Velo的反应时间，于是，我们有1V3T=2V3T+0D…………………………………①3TT…………………………………②由①式，得3T=210VVDT…………………………………③于是，我们有0DTVV）（21…………………………………④把s/m350V1，s/m9125V2，15sT代入④式，解得m6.41D这表明，Thes觉察时两恐龙之间的距离0D在15m~41.6m之间的时候，Velo能够成功捕捉到Thes。而对于Thes来说，当距离0D大于41.6m的时候，它能成功逃跑。此时，Velo能够成功捕捉到Thes的概率76.01550156.411P,而Thes能成功逃跑的概率24.015506.41502P。显然，Thes能成功逃跑的概率比Velo能够成功捕捉到Thes的概率要小得多。因此，直线逃跑策略对Thes不利。2.考虑Thes和Velo的反应时间，即Thes察觉危险后再经过反应时间才采取逃跑的行动，而Velo在发觉Thes开始逃跑也经过反应时间才采取追捕行动。这里，我们以反应时间1T=2T0.1s来计算，则有1V（3T+1T）=2V)T23T（+0D…………………………………⑤整理得0D221121TVTVTVV）（…………………………………⑥把s/m350V1，s/m9125V2，15sT，1T=2T0.1s代入⑥式，解得m9.410D因为41.9m＞41.6m，所以考虑Thes和Velo的反应时间的时候，Velo能够成功捕捉到Thes的概率的可能性会变得更大一点。从实际情况来看，Thes和Velo是有一定反应时间的，这更进一步表明直线逃跑策略对Thes不利。策略二：Thes发现Velo后，Thes和Velo以全速逃跑或者追捕，且两者的速度成一定的夹角，如图一所示（方便起见，这里不考虑两者的反应时间）：点T和点V分别代表Thes和Velo的初始位置，当Thes发现潜伏着的Velo的时候，Thes开始向着T→A的方向逃跑，而Velo也沿着V→A的方向追捕，假设在点A的时候，Velo成功捕捉到Thes。在图中，设∠TVA=1，∠VTA=2。由分析可知，在逃跑过程中，Thes的逃跑路线TA与线段VT的夹角2要满足90°＜2＜180°的时候，这种策略才会对Thes有利。在△TVA中，由正弦定理，我们有VT图一A21sinsinVATA…………………………………⑦从而，有VATA21sinsin…………………………………⑧而TA=2V3T，VA=1V3T，s/m350V1，s/m9125V2,代入⑧式，得65sinsin1221VV…………………………………⑨由⑨式可知，角度1与2之间的关系式与追捕时间3T无关，只与两者的速度的大小有关。这表明，Thes的逃跑路线TA与线段VT的夹角2与Velo的追捕路线与线段VT的夹角1满足⑨式的关系时，Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性相当大。此时对Velo很有利，对Thes非常不利。当65sinsin21＜时，这时Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性比65sinsin21时进一步增大；当65sinsin21＞时，这时Velo能够在15s内成功捕捉到Thes的可能性比65sinsin21时要小一些；当11802时，Velo的追捕路线与Thes的逃跑路线平行或者逐渐远离，此时Velo无法成功捕捉到Thes。策略三：Thes发现Velo后，先沿着策略一的直线逃跑一段距离再转弯，而Velo也同时转弯。此时，追捕路线会有以下四种情况：1.如图二所示：R2R1MO2O1CKEFAB图二如图二所示，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Thes的转弯半径m5.0R2，Velo的转弯半径m5.1R1，如果他们在M点相遇，假设追捕过程持续的时间在15s之内，则此时Thes被捕。2.如图三所示：R2R1NMO2O1CKEABFG图三图三中，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KGE逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）。在点N处，Velo和Thes相遇，Thes被捕捉。3.如图四（1）（2）所示：R2R1MO2O1CKEFABN图四（1）R2R1MO2O1CKEFABN图四（2）图四中，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CMF（图四（2）中为弧CFM）追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,而Velo在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）。此时，EN与AK成90°角。在点N处，Velo和Thes相遇，Thes被捕捉。比较图四（1）和图四（2），我们很容易知道，在图四（2）中，Velo和Thes很快就相遇了，也就是说此时Velo能很快地抓到Thes。这对Thes非常不利。4.如图五所示：R2R1MO2O1CNGHKEFAB图五图五中，同样地，Thes到达K点后再转弯，在Thes转弯的同时，Velo也在C点转弯。转弯之后，Thes沿着弧KEM逃跑，而Velo沿着弧CFM追捕。Velo到达点E时恢复直线逃跑（即沿着E→N的方向逃跑）,由于受到灵活性的影响，Velo只有在点F处恢复直线追捕（即沿着F→N的方向追捕）时才最有利。如果Velo在点G处开始沿着平行于直线EN的直线GH追捕，则Velo无法追捕到Thes。比较以上四种情况可知，在图二、图三中，Thes很快就会被Velo捕捉到，如果Thes足够聪明的话，它是不会选择图二、图三中的逃跑路线的。对于图四，如果Velo足够聪明，它能预测到Thes在转弯之后会沿着垂直于直线AK的方向（E→N）逃跑，那么它选择图四（2）时更容易成功追捕到Thes。而在图四（1）中，如果Velo不能预测到Thes在转弯之后会沿着垂直于直线AK的方向（E→N）逃跑的话，Velo就需要花更多的时间进行追捕，这种路线会对Thes有利一些。在图五中，Velo追捕的路程比较长，所以这种情况下对Thes比较有利。总的来说，以上四种情况中，相比之下，图五的路线对Thes更有利一些。因此，我们着重讨论图五这种逃跑路线。如图五所示，点A为Velo的初始位置，点B为Thes的初始位置，当B处的Thes发现在A处的Velo之后，Thes沿着BK的路线直跑，Velo也沿着相同的方向向前追捕。Thes到