高考专题：解析几何常规题型及方法

1高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题,0--1个填空题,1个解答题),共计20多分,考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。三、高考核心考点1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。2典型例题给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。分析：设Pxy111(,)，Pxy222(,)代入方程得xy121221，xy222221。两式相减得()()()()xxxxyyyy12121212120。又设中点P（x,y），将xxx122，yyy122代入，当xx12时得22201212xyyyxx·。又kyyxxyx121212，代入得24022xyxy。当弦PP12斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是24022xyxy说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。变式练习：给定双曲线2x2-y2=2，过点B(1,1)能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q1、Q2两点，且点B是线段Q1Q2的中点？如果直线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，PFF12，PFF21。（1）求证离心率sinsin)sin(e；（2）求|||PFPF1323的最值。分析：（1）设||PFr11，|PFr22，由正弦定理得rrc122sinsinsin()。3得rrc122sinsinsin()，sinsin)sin(ace（2）()()aexaexaaex3332226。当x0时，最小值是23a；当ax时，最大值是26323aea。变式练习：设F1、F2分别是双曲线12222byax（a0,b0）的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：S△=b2cot2（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。ypxpxytx210()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。（1）证明：抛物线的准线为114：xp由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得tptp14440，而由消去得xytypxy21()xtpxtp2220()()()()2422tptpptp()440故直线与抛物线总有两个交点。（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)xxtpxxtp121222，OAOBkkOAOB，1则xxyy12120又yytxtx1212()()4xxyyttp1212220()pfttt()22又，得函数的定义域是ptpft0440()()()200，，变式练习：直线y=ax+1与双曲线3x2－y2=1交于两点A、B两点(1)若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值范围(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。1若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则221212)(204)(4axxpaxxapa,又y1=x1-a,y2=x2-a,,2)2(80,0)2(8,2||0)2(8]4)[(2)()(||21221221221pappapppABappxxxxyyxxAB解得:.42pap(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：paxxx2213,.2)()(221213paxaxyyy所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=P2，所以5S△NAB=22222||22||||21pppABpQNAB,即△NAB面积的最大值为P22。变式练习：双曲线12222byax（a0,b0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为22（1）求双曲线的方程（2）设直线y=kx+m(k0且m0)与双曲线交于两个不同的点C、D，若A(0,-1)且AC=AD，求实数m的取值范围（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p0)设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（12,11222kkkk），B（1)1(8,116222kkkk）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=251,p=552.所以直线L的方程为：y=251x,抛物线C的方程为y2=554x.变式练习：在面积为1的△PMN中，tanM=21,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。2．曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1,MNQO6动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。变式练习：过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且AB≤8，此外，直线AB和椭圆3x2+2y2=2交于不同的两点。（1）求直线AB的斜率k的取值范围（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）典型例题已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆C上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点(,)xy11，(,)xy22，代入方程，相减得31212()()xxxx412()yy()yy120。又xxx122，yyy122，kyyxx121214，代入得yx3。又由yxyxm34解得交点(,)mm3。交点在椭圆内，则有()()mm224331，得2131321313m。变式练习：为了使抛物线()yx112上存在两点关于直线ymx对称，求m的取值范围。（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121···来处理或用向量的坐标运算来处理。7典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(,)20，抛物线Cyx:()241，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。分析：（1）直线ykx()2代入抛物线方程得kxkxk222244440()，由0，得110kk()。（2）由上面方程得xxkk122244，yykxx12212224()()，焦点为O(,)00。由kkyyxxkkOAO