倍-角-公-式

第三章三角恒等变换人教B版数学•3．2倍角公式和半角公式第三章三角恒等变换人教B版数学•3.2.1倍角公式第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学•二倍角的正弦、余弦、正切公式：•S2α：sin2α＝.•C2α：cos2α＝＝＝.•T2α：tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学重点：倍角公式的推导及应用．难点：倍角公式及其等价变式的灵活应用．1．在公式S2α，C2α中，α是任意角，但公式T2α中，只有当α≠kπ＋π2及α≠π4＋kπ2(k∈Z)时才成立．2．要理解倍角公式与两角和(差)公式的内在关系，他们的内在联系如下：第三章三角恒等变换人教B版数学3．倍角公式不仅用于2α作为α的2倍的情况，还可以运用诸如将4α作为2α的2倍，将α作为α2的2倍，将α2作为α4的2倍，将3α作为3α2的2倍，将α3作为α6的2倍等等，如sinα2＝2sinα4cosα4，cosα3＝cos2α6－sin2α6.4．由于sin2x＝2sinx·cosx，从而1±sinx＝sinx2±cosx22，可用于无理式的化简及运算．第三章三角恒等变换人教B版数学5．要熟悉公式的逆用．如sin3α·cos3α＝12sin6α.4sinα4·cosα4＝22sinα4·cosα4＝2sinα2，S2tan40°1－tan240°＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α.第三章三角恒等变换人教B版数学•6．要注意二倍角余弦公式的原形、变形及应用．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，应根据不同的函数名称，选取不同的形式．另外公式的双向应用分别起到缩角升幂、扩角降幂的作用．第三章三角恒等变换人教B版数学①1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2(升幂公式)．②cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2(降幂公式)．③1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α经常用于消除式子中的“1”．C2α公式的不同形式的逆用，在三角函数的化简、求值、证明中应用广泛．第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学[解析]解法一：因为sinπ4＋α·sinπ4－α＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，所以sinπ2＋2α＝13，即cos2α＝13.因为α∈π2，π，则2α∈(π，2π)，所以sin2α＝－1－cos22α＝－223，于是sin4α＝2sin2αcos2α＝－429.第三章三角恒等变换人教B版数学解法二：由条件得22(cosα＋sinα)·22(cosα－sinα)＝16，即12(cos2α－sin2α)＝16，所以cos2α＝13.由2α∈(π，2π)得sin2α＝－223，所以sin4α＝－429.第三章三角恒等变换人教B版数学•[点评]对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”．若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论．应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要掌握拆角、拼角等技巧．第三章三角恒等变换人教B版数学已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4.(1)求sinx的值；(2)求sin2x＋π3的值．第三章三角恒等变换人教B版数学[解析](1)解法一：∵x∈π2，3π4，∴x－π4∈π4，π2，∴sinx－π4＝1－cos2x－π4＝7210.sinx＝sinx－π4＋π4＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4＝7210×22＋210×22＝45.第三章三角恒等变换人教B版数学解法二：由题设得22cosx＋22sinx＝210，∴cosx＋sinx＝15，又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝45或sinx＝－35.又∵x∈π2，3π4，∴sinx＝45.(2)∵x∈π2，3π4，∴cosx＝－1－sin2x＝－1－452＝－35.第三章三角恒等变换人教B版数学sin2x＝2sinxcosx＝－2425，cos2x＝2cos2x－1＝－725.∴sin2x＋π3＝sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝－24＋7350.第三章三角恒等变换人教B版数学•[分析]巧妙利用“1”的变形，或变形运用公式C(2α)求解．第三章三角恒等变换人教B版数学[解析]解法一：左边＝sin2θ＋1－cos2θsin2θ＋1＋cos2θ＝2sinθcosθ＋2sin2θ2sinθcosθ＋2cos2θ＝sinθcosθ＋sinθcosθcosθ＋sinθ＝tanθ＝右边．解法二：左边＝sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θsin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ＝sin2θ＋2sin2θsin2θ＋2cos2θ＝2sinθsinθ＋cosθ2cosθsinθ＋cosθ＝tanθ＝右边．第三章三角恒等变换人教B版数学解法三：左边＝1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ－cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＋cos2θ－sin2θ＝sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθsinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθsinθ＋cosθsinv＋cosθ＋cosθ－sinθ＝sinθ＋cosθ·2sinθsinθ＋cosθ·2cosθ＝tanθ＝右边．第三章三角恒等变换人教B版数学•[点评]以上几种方法大致遵循以下规律：首先都是由复杂端向简单端转化；其次是化倍角为单角；最后，证题中注意对数字的处理，尤其是对“1”的妙用．第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学[解析]左边＝tan2θ－1tanθ，右边＝－22tanθ1－tan2θ＝－1－tan2θtanθ＝tan2θ－1tanθ，∵左边＝右边，∴等式成立．第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学•[例3]在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？第三章三角恒等变换人教B版数学•[解析]如图，设∠AOB＝θ，且θ为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为•|AB|＝Rsinθ，•|DA|＝2|OA|＝2Rcosθ.•这个矩形的面积为S矩形ABCD＝|AB|·|DA|•＝Rsinθ·2Rcosθ＝R2sin2θ.•当sin2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形ABCD的面积取得最大值R2.第三章三角恒等变换人教B版数学•答：当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是12时，所截矩形的面积最大．•[点评](1)求三角函数最值问题，除了利用三角函数的有界性外，配方法、换元法、函数单调性法都是常用方法，但应用时要注意三角函数的取值范围．(2)函数最值和实际应用题是高考热点，题型一般是选择、填空题，但中档难度的解答题也不容忽视．第三章三角恒等变换人教B版数学•如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为•(1)求tan(α＋β)的值；•(2)求α＋2β的值．第三章三角恒等变换人教B版数学[解析](1)由已知条件及三角函数的定义可知cosα＝210，cosβ＝255，∵α为锐角，sinα0，从而sinα＝1－cos2α＝7210.同理可得sinβ＝55.∴tanα＝7，tanβ＝12.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.第三章三角恒等变换人教B版数学(2)解法一：tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－3×12＝－1.又0απ2，0βπ2，故0α＋2β3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.第三章三角恒等变换人教B版数学解法二：∵tanβ＝12，∴tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－14＝43.∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanα·tan2β＝7＋431－7×43＝253－253＝－1.(以下同解法1)．第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学[例4]已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1tanπ4＋x·sin2π4－x.(1)求f－1712π的值；(2)当x∈0，π2时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．第三章三角恒等变换人教B版数学[解析]f(x)＝4cos4x－2cos2x－1tanπ4＋x·sin2π4－x＝41＋cos2x22－2cos2x－1tanπ4＋x·cos2π4＋x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝cos22x12sinπ2＋2x第三章三角恒等变换人教B版数学＝cos22x12cos2x＝2cos2x.∴(1)f－1712π＝2cos17π6＝2cos5π6＝－3.(2)g(x)＝12f(x)＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.∵x∈0，π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，∴g(x)max＝2，g(x)min＝－1.第三章三角恒等变换人教B版数学设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x)，x∈R.若f(x)＝1－3且x∈－π3，π3，求x.第三章三角恒等变换人教B版数学[解析]依题设f(x)＝2cos2x＋3sin2x＝1＋cos2x＋3sin2x＝1＋2sin2x＋π6，由1＋2sin2x＋π6＝1－3得sin2x＋π6＝－32.∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6，∴2x＋π6＝－π3即x＝－π4.第三章三角恒等变换人教B版数学第三章三角恒等变换人教B版数学•[例5]已知sinα＋cosα＝，且0απ，求sinα－cosα，cos2α的值．第三章三角恒等变换人教B版数学[误解]将sinα＋cosα＝13两边平方得：sin2α＝－89，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－sin2α＝173.cos2α＝1－sin22α＝179.第三章三角恒等变换人教B版数学[辨析]由sinα＋cosα＝13及0απ知π2απ，且|sinα||cosα|，故应讨论sinα－cosα与cos2α的符号得sinα－cosα0，cos2α0.第三章三角恒等变换人教B版数学[正解]将sinα＋cosα＝13两边平方得sin2α＝2sinαcosα＝－89，∵0απ，且sinα＋cosα＝13，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－sin2α＝173，cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝13×－173＝－179.第三章三角恒等变换人教B版数学[点评]求cos2α也可以先讨论符号，用平方关系．由0απ及sinα＋cos