2014届高三数学一轮：数列的概念与函数特性

第五章数列[知识能否忆起]1．数列的定义按排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的．其中数列的第1项a1也称；an是数列的第n项，也叫数列的．一定次序项首项通项2.数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数无穷数列项数项与项间的大小关系递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an有限无限3．数列与函数的关系(1)从函数观点看，数列可以看作定义域为的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列就是这个数列．(2)数列同函数一样有解析法、图像法、列表法三种表示方法．正整数集N＋(或N＋的有限子集)函数值4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．n5．数列的通项an与前n项和Sn的关系(1)Sn＝a1＋a2＋…＋an；(2)an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.答案：D1．下列说法正确的是()A．数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B．数列1,2,3与数列1,2,3，…是同一数列C．1,4,2，13，5不是数列D．数列{2n－3}与－1,1,3,5，…，不一定是同一数列[小题能否全取]解析：由数列的定义及数列的通项公式的定义知，选项D正确．答案：B2．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是()A．an＝n2n＋1B．an＝n2n－1C．an＝n2n－3D．an＝n2n＋3答案：A3．已知数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，则这个数列是()解析：an＋1－an＝n＋1n＋2－nn＋1＝n＋12－nn＋2n＋1n＋2＝1n＋1n＋20.A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54.答案：545．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1n为偶数，2n－5n为奇数，则a4·a3＝________.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1，则a8＝______.解析：a8＝S8－S7＝(28－1)－(27－1)＝28－27＝27＝128.答案：1281.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．[例1](2013·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝－1n－1＋32[自主解答]由an＝2－sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案]C若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{an}的一个通项公式为________．答案：an＝0n为奇数，1n为偶数.或an＝1＋－1n2或an＝1＋cosnπ21．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．1．写出下面数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)3,33,333,3333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以an＝13(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.由an与Sn的关系求通项an[例2]已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.(1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1.[自主解答](1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，故an＝4n＋1.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，故an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N＋且n≥2)，求该数列的通项公式．解：由S1＝1得a1＝1，又由S2＝2可知a2＝1.∵Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(n∈N＋且n≥2)，∴Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(n∈N＋且n≥2)，即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(n∈N＋且n≥2)，∴an＋1＝2an(n∈N＋且n≥2)，故数列{an}是从第2项起以2为公比的等比数列．∴数列{an}的通项公式为an＝1，n＝1，2n－2，n≥2.[例3]已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？数列的函数特性[自主解答](1)因为an＝n2－21n＋20＝n－2122－3614，可知对称轴方程为n＝212＝10.5.又因n∈N*，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n项和最小，则有an≤0，由n2－21n＋20≤0，解得1≤n≤20，故数列{an}从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．在本例条件下，设bn＝ann，则n为何值时，bn取得最小值？并求出最小值．解：bn＝ann＝n2－21n＋20n＝n＋20n－21，令f(x)＝x＋20x－21(x0)，则f′(x)＝1－20x2，由f′(x)＝0解得x＝25或x＝－25(舍)．而4255，故当n≤4时，数列{bn}单调递减；当n≥5时，数列{bn}单调递增．而b4＝4＋204－21＝－12，b5＝5＋205－21＝－12，所以当n＝4或n＝5时，bn取得最小值，最小值为－12.1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n项和最值的求法(1)根据数列的求和公式：先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式：若am≥0，且am＋10，则Sm最大；若am≤0，且am＋10，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.3．(2013·江西七校联考)数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大值是()A．310B．19C.119D.1060解析：an＝1n＋90n，由基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N+，易知当n＝9或10时，an＝119最大．答案：C递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法．1．累加法[典例1](2011·四川高考)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．11[解析]由已知得bn＝2n－8，an＋1－an＝2n－8，所以a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，由累加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a8＝a1＝3.[答案]B[题后悟道]对形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出an－a1与n的关系式．[典例2](2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.[解](1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．2．累乘法(2)由题设知a1＝1.当n1时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.于是a2＝31a1，a3＝42a2，…，an－1＝nn－2an－2，an＝n＋1n－1an－1.将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝nn＋12.综上可知，{an}的通项公式an＝nn＋12.[题后悟道]对形如an＋1＝anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出ana1与n的关系式．3．构造新数列[典例3]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2；则an＝________.[解析]∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.[答案]2×3n－1－1[题后悟道]对于形如“an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人．针对训练1．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an2an＋1，则其通项公式为________．解析：两边取倒数，得1an＋1＝2an＋1an＝2＋1an，故有1an＋1－1an＝2.故数列1an是首项为1a1＝13，公差为2的等差数列，所以1an＝13＋2(n－1)＝6n－53，故an＝36n－5.答案：an＝36n－52．已知数列{an}满足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，则数列{an}的通项公式为________．解析：当n≥2，有(n－1)an＝n×2nan－1，故anan－1＝nn－1×2n，则有an－1an－2＝n－1n－2×2n－1，an－2an－3＝n－2n－3×2n－2，…，a2a1＝21×22.上述n－1个式子累乘，得ana1＝nn－1×2n×n－