2016届高考数学(文)二轮复习考点例题课件：专题三+第1讲+等差数列、等比数列(人教版)

第1讲等差数列、等比数列高考定位等差数列与等比数列是最重要也是最基本的数列模型，与数列相关的命题绝大部分最终都要归结到这两个模型中来求解；同时数列问题又是以运算为主导，其概念、性质都是建立在准确运算的基础上，因此要特别注意运算能力的提升，保证每一步运算正确．真题感悟解析∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，∴S5＝5（a1＋a5）2＝5a3＝5.故选A.1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.11A2.(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10＝()A.172B.192C.10D.12解析由S8＝4S4知，a5＋a6＋a7＋a8＝3(a1＋a2＋a3＋a4)，又d＝1，∴a1＝12，a10＝12＋9×1＝192.B3.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A.2B.1C.12D.18解析由{an}为等比数列，得a3a5＝a24，所以a24＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝12.选C.C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.解析由an＋1＝2an知，数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝2（1－2n）1－2＝126，解得n＝6.答案6考点整合1.an与Sn的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，(2)求和公式：Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d，(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等差数列.3.等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，(Sm≠0)成等比数列.【例1－1】已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.热点一等差、等比数列的有关运算[微题型1]等差、等比数列的基本运算解(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn60n＋800成立.当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋（4n－2）]2＝2n2.令2n260n＋800，即n2－30n－4000，解得n40或n－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.探究提高等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项a1和公差d(公比q)，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量.[微题型2]等差、等比数列的性质运算【例1－2】(1)(2015·榆林模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2015，其前n项和为Sn，若S1212－S1010＝2，则S2015的值为()A.2014B.2015C.－2014D.－2015(2)(2015·广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________.解析(1)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，由已知可得S11＝a1＝－2015，公差d＝1.故S20152015＝－2015＋(2015－1)×1＝－1，∴S2015＝－2015.(2)∵三个正数a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝(5＋26)(5－26)＝1.∵b为正数，∴b＝1.答案(1)D(2)1探究提高在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.【训练1】(1)(2015·成都模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝()A.2B.73C.310D.1或2(2)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________.解析(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列知：(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，不妨设S2＝1，S4＝3，则求得S6＝7.∴S6S4＝73.(2)由题意知a8＞0，a9＜0，即a1＋7d＞0，a1＋8d＜0，解得：－1＜d＜－78.答案(1)B(2)－1，－78【例2】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明：an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an＜32.热点二等差、等比数列的判定与证明证明(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋12＝3an＋12.又a1＋12＝32，所以an＋12是首项为32，公比为3的等比数列.所以an＋12＝3n2，因此{an}的通项公式为an＝3n－12.(2)由(1)知1an＝23n－1.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以23n－1≤22×3n－1＝13n－1.于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝321－13n＜32.所以1a1＋1a2＋…＋1an＜32.探究提高判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an或an＋1an为同一常数.(2)通项公式法：①若an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d或an＝kn＋b(n∈N*)，则{an}为等差数列；②若an＝a1qn－1＝amqn－m或an＝pqkn＋b(n∈N*)，则{an}为等比数列.(3)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列.【训练2】(2015·石家庄模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12.(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，所以1Sn－1Sn－1＝2(n≥2，n∈N*)，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)知，1Sn＝2n，故Sn＝12n，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝－12n（n－1）(n≥2，n∈N*)，所以an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.应用关系式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.4.三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝a＋c2，但三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac(a、b、c不为零).