专题训练(三) 平行四边形的性质与判定的综合应用

四清导航证明：∵AB＝CD，且AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.四清导航解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，又∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∴AF∥EC.同理：BE∥FD.∴四边形MFNE是平行四边形．四清导航解：∵EB＝ED，∴∠EDB＝∠ABC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠EDB＝∠ACB.∴EF∥AC.又∵EF＝AB，AB＝AC，∴EF＝AC.∴四边形EFCA是平行四边形．∴∠F＝∠A.四清导航证明：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵DE＝CF，∴AE＝BF.∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．∴BM＝ME，CN＝NE.∴MN是△BCE的中位线，四清导航证明：连接EG，GF，FH，HE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB，∵BG＝DH，∴AH＝CG，又AE＝CF，∴△AEH≌△CFG，∴HE＝GF，同理可得：EG＝FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EF与GH互相平分四清导航解：四边形AQRP是平行四边形，先证△CQR≌△CAB≌△RPB，可得AQ＝PR，RQ＝PA.四清导航四清导航解：(1)当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，此时PD＝QC，∴12－2t＝t，∴t＝4.∴当t＝4时，四边形PQDC是平行四边形．(2)过P点，作PE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴DF＝AB＝8，FC＝BC－AD＝18－12＝6.①当PQ⊥BC，则BE＋CE＝18.即：2t＋t＝18，∴t＝6；②当QP⊥PC，∴PE＝4，CE＝3＋t，QE＝12－2t－(3＋t)＝9－3t，∴16＝(3＋t)(9－3t)，解得：t＝333；③情形：当CP⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在．∴当t＝3或333时，△PQC是直角三角形．四清导航四清导航解：(1)以①②作为条件构成的命题是真命题，证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△COD中，∠OAB＝∠OCDAO＝CO∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形(2)根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，另一组对边相等，那么四边形是平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA＝OC，AD＝BC，那么这个四边形是平行四边形，根据已知不能推出OB＝OD或AD∥BC或AB＝DC，即四边形不是平行四边形四清导航四清导航解：(1)GF⊥EF，GF＝EF(2)GF⊥EF，GF＝EF成立；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠DAB＋∠ADC＝180°，∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，∴∠EAF＋∠CDF＝45°，∵∠CDF＋∠GDF＝45°，∴∠FDG＝∠EAF，∵在△GDF和△EAF中，DF＝AF∠FDG＝∠FAEDG＝AE，∴△GDF≌△EAF(SAS)，∴EF＝FG，∠EFA＝∠DFG，即∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA，∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF，GF＝EF