有理数讲义

第二章有理数高远1/16【中考命题趋势】本章在各地中考题中主要是对有理数有关概念的理解及运算能力的考察，大多数以填空题、选择题的形式命题，有时出现个别判断题型，虽然试题内容相对简单，一般不会出现高难度题，属于中考的送分题，但考察的分值和比例并不多。【知识点归纳】一、有理数的基本概念考点1．负数⑴用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。。。）⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3....4）⑶a不一定是负数，关键看a是正数、负数还是0负数，有理数数轴相反数概念绝对值有理数的大小比较倒数加法减法乘法有理数运算除法乘方混合运算科学记数法近似数和有效数字第二章有理数高远2/16例题：例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m记做，向西行驶20m记做，原地不动记做，—5m表示向行驶5m，+16m表示向行驶16m.。例2：收入—2000元，表示。考点2．有理数⑴定义：整数：正整数、零和负整数统称为整数。...2,1,0,1,2....自然数：正整数和零。0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。40.3,0.31,......5有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。【注】，以及的倍数都不是分数。有理数：整数和分数统称为有理数。⑵有理数分类①按有理数的定义分类②按正负分类正整数正整数整数0正有理数有理数负整数有理数正分数正分数0负整数分数负有理数负分数负分数⑶习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数（即非负数）⑷数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。⑸【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。0不仅仅表示没有。最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。第二章有理数高远3/16例题：例1：76%,5,260,2001,0,120.1,100020,-,31，负数有个，正数有个，整数有个，正分数有个，非负整数有个。例2：下列说法正确的是：（）⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数⑵正有理数是正整数和正分数的统称。⑶一个有理数不是分数就是正数。⑷整数不是奇数就是偶数。⑸0是最小的有理数。⑹3.1415926不是分数⑺正整数和负整数统称为整数。⑻奇数是正数⑼有理数包括整数和分数⑽—0.6是分数⑾0不是正数也不是负数。⑿0是自然数，不是整数。⒀没有最小的有理数。【中考链接】例⒈（2009绵阳）在电视上看到天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天气温为“－5℃”表示的意思是。例⒉（2010广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）A．－18%B．－8%C．＋2%D．＋8%例⒊（2010安徽）在－１，０，１，２这四个数中，既不是正数也不是负数的是（）A．-1B.0C.1D.2例⒋（2010新疆乌鲁木齐）在2,1,2,0这四个数中负整数是（）A．-2B．0C．2D．1考点3．数轴⑴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴⑵数轴的三层涵义：①数轴是一条直线，可以向两方无限延伸②数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可③原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定向右为正方向。第二章有理数高远4/16（3）数轴的画法①画一条水平的直线；②在这条直线上的适当位置取一点作为原点；③确定正方向，用箭头表示；④选取适当长度作为单位长度，并对应标上数字。（4）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（5）在数轴上比较有理数的大小①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。②由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。例题：例1：写出数轴上A,B,C,D,E各点表示的数，并用“”号连接起来。例2：写出大于—4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。例3：若数轴上的点A向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A点对应的数是。例4：写出两个比—2大的负有理数。【中考链接】例⒈（2010吉林）如图，数轴上点A所表示的数是_________。例⒉（2010连云港）下面四个数中比－2小的数是（）A．1B．0C．－1D．－3例⒊（2010河北）如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD=6，点A对应的数为1，则点B所对应的数为．BCA0D例4．不大于4的正整数的个数为（）．A、2B、3C、4D、5第二章有理数高远5/164．相反数（1）（代数意义）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。（几何意义）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（2）互为相反数的性质①正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0②互为相反数的两个数和为0，反过来，和为0的两个数互为相反数即：a,b互为相反数a+b=0，有时也可以表示为a=-b或b=-a（3）相反数的求法：只需在一个数前面加一个“－”号，即aa的相反数是。在一个数的前面加一个“+”号，表示这个数的本身。（4）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。（5）【注】相反数等于本身的数只有0，正数的相反数小于它本身，负数的相反数大于它本身。aa的相反数的相反数是例题：例1：下列说法正确的是()A一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。B符号相反的两个数互为相反数。C互为相反数的两个数可能相等。D一个数的相反数不可能大于它本身。例2：（1）0.1与a互为相反数，那么a=。（2）a-1的相反数是。（3）若-x的相反数是-7.5，则x=。（4）如果m的相反数是最大的负整数，n的相反数是-2，那么m+n=。例3：-[-（-3.5）]=-[-（+8）]=【中考链接】例⒈（2010江苏淮安）-(-2)的相反数是（）第二章有理数高远6/16A．2B．12C．-12D．-2例⒉（2010浙江金华）如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（）A．a＜1＜－aB．a＜－a＜1C．1＜－a＜aD．－a＜a＜15．绝对值（1）（几何意义）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。（代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．（2）绝对值的求法：去掉绝对值符号，必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。(0)a0(0)(0)aaaaa（3）绝对值性质一个数的绝对值是一个非负数，a≥0。【注】绝对值最小的数是0，绝对值等于本身的数是正数和0（非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（非正数）。（4）两个相反数的绝对值相等．即：若ab则a=b或a=-b例题：例1：若|a|=2，则a=。例2：到原点5个单位长度的点是。例3：若|m|=-m,则m是。若|m|=m,则m是。例4：若|x+2|+|y-3|=0，则x=,y=。例5：若|a|=4,|b|=3,且ab,试求a、b的值。例6：写出绝对值不大于3的所有整数【中考链接】01A第二章有理数高远7/16例⒈（2010鄂尔多斯）如果a与1互为相反数，则│a│等于（）A.2B.－2C.1D.－1例⒉（2010吉林）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）例⒉（2010湖南长沙）实数a、b在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是．abo考点6：倒数（1）定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。即：a,b互为倒数ab=1【注】倒数等于本身的数是1，-1。（2）求法：①求非零整数的倒数，即a（a≠0的整数）的倒数是1a②求一个分数的倒数，即0,0nnmm倒数是mn③求一个带分数的倒数，应将带分数化为假分数再求其倒数④求一个小数的倒数，现将小数化为分数，再求其倒数例题：例1．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且c＝–l，求cbacdc2)(2||2的值．例2：下列说法正确的是。①只有1的倒数等于它的本身。②－3.5的倒数是3.5。③零没有倒数。④0.1的倒数是10。⑤任何一个有理数a的倒数都等于a1。⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。【中考链接】第二章有理数高远8/16例⒈（2010广东佛山）如图，数轴上的点A表示的数为a，则1a等于（）．A.12B.12C.-2D.2例⒉（2010山东荷泽）负实数a的倒数是（）A．－aB．a1C．a1D．a考点7．有理数大小比较原则（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数（2）两个负数，绝对值大的反而小（3）有的不能直接比较两数的大小，可利用相减法、相除法以及寻找第三个等量的方法例题：例1：实数a,b在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b的大小关系。0ba例2：因为3132，所以，3132例3：若xy0,则-xy,x-y,|x||y|二、有理数的运算考点1．有理数的加法(1)有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③互为相反数的两个数相加得零。④一个数与0相加，仍得这个数。第二章有理数高远9/160,0,0,0,2,0,0,,0,0,0,ababababababababbaababababbaaba字母表示：(1)a,b同号若则a+b=+若则a+b=-（）a,b异号则a+b=+若则a+b=-则a+b=-若则a+b=+若，则a+b=0(3)若则a+b=b（2）有理数加法的运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（3）灵活运用加法运算律①互为相反数的两个数，可先相加；②符号相同的数可以先相加；③分母相同的数可以先相加；④几个数相加可以能得到整数可先相加。（4）步骤：先确定符号，再计算绝对值例题：例1：下列说法正确的是①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。③两个有理数的和可能为0。④两个有理数的和可能等于其中一个加数。⑤若a与-2互为相反数，则a+(-2)=0。例2：如果|x|=2,|y|=3,则①x,y同号，x+y=②x,y异号，x+y=例3：绝对值不大于-4.3的所有整数的和。例4：用简便方法计算：第二章有理数高远10/16(1)13(12)17(18)(18.75)6.25(3.25)18.75821()()933（2）如果a,b互为相反数，则a+2a+3a+…+99a+100a+b+2b+…+99b+100b=。（3）（-1）+3+（-5）+7+…+95+（-97）+99=。2．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。字母表示为：a-b=a+(-b)例题：例1：下列说法正确的是。①在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。②两个相反数相减得零。③零减去一个数，仍得这个数。④负数减去正数，差为负数。⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。例2：①A、B两点间的距离是多少？②A、C两点间的距离是多少？③探究两点间的距离与表示这两点的数有什么关系？例3：某日哈尔滨等五城市最高气温与最低气温记录如下表，哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？城市哈尔滨长春大连北京沈阳最高气温（Co）236123最低气温（Co）-12-10-22-