1、2基本不等式

定理１：如果，那么（当且仅当时取“=”号）．Rba,abba222baabba2(当且仅当时取“=”号）．ba如果是正数，那么,ab定理２（均值定理）2．语言表述：两个正数的算术平均数大于或小于它们的几何平均数。均值定理的几何说明1abBADCEab.均值定理的几何说明22abab2ab半径不小于半弦DBCEoA2ababOCCDaDb基本不等式及推出的常见变形不等式22)5(2)4(2)3(2)2(2)1(22222222bababaababbabaababbaa0,b0)(3,,2333时等号成立当且仅当为正数，求证：设例cbaabccbacba33333233332222222222223()333()333()()()3()()23()()1()()()()0,2abcabcabababcabcabcabababcabcababccababcabcaabbacbccababcabcabbccaabcabbcca23,.,,3abcabcRabcabc若那么当且仅当时，等号成立。定理3语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。推论:),,(33Rcbaabccba33abccba.,等号成立时当且仅当cba为定值时abc)1(为定值时cba)2(3)3(cbaabc.,等号成立时当且仅当cba关于“平均数”的概念：1．如果*12,,,,1naaaRnnN且则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数。nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数。定理4：naaan21≥nnaaa21niRaNni1,,*语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当ａ1＝a2＝…=an时，等号成立．推广27Rxyz+3例1、已知x，y，z，求证：（x+y+z）。33xyzxyz证明：因为，所以327xyz即（x+y+z）3xyz（x+y+z），27232,(0).yxxx求函数的最小值例23322243212321232xxxxxxxxy解:3min43y(错解:原因是取不到等号)正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx时当且仅当例3:.)1(,10)1(2的最大值求函数时当xxyx解:,10x,01x.274,32,12maxyxxx时当274)3122(43xxx)1(224)1(2xxxxxy构造三个数相加等于定值..)1(,10)2(2的最大值求函数时当xxyx练习:解:,10x,012x得由),1(2xxy2222)1(xxy)1)(1(221222xxx274)3112(213222xxx.392,274,33,12maxmax222yyxxx时当构造三个数相加等于定值.例３将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解:设剪去的小正方形的边长为xx)20(,)2(2axxaxV则其容积为:)2()2(441xaxaxV272]3)2()2(4[4133axaxax272,6,243maxaVaxxax时当且仅当.272,63aa积是合的最大容铁时长为小正方形边即当剪去的axa2小结222abcabbcac（1）例1求证：),,(8))()(()2(均为正数cbaabcaccbba1,0,,)3(cbacba已知8)11)(11)(11(cba求证：