8.2.1 直线的方程

点的坐标是直线方程的解⇔点在直线上一．点与直线的关系由前面推导直线方程的过程可知，方程中的未知数x、y表示直线上任意一点的坐标，因此，一个点若在直线上，则它的坐标必定是未知数x、y的取值，即是方程的解；反之，如果一个点的坐标是方程的解，则此点必在直线上。所以：例1判断点A(3，-1)和B(-2，2)是否在直线x+2y-1=0上。解：把点A的坐标代入x+2y-1=0得：3+2×(-1)-1=0，即：0=0，A的坐标是方程的解，所以A在直线x+2y-1=0上；把点B的坐标代入x+2y-1=0得：-2+2×2-1=0，即：1=0，B的坐标不是方程的解，所以B不在直线x+2y-1=0上。练习1判断点P(3，5)和Q(-2，-1)是否在直线2x-y+3=0上。例2已知点A(a，3)在直线x+2y-1=0上，求a值。解：因为点A(a，3)在直线x+2y-1=0上，所以A坐标是方程x+2y-1=0的解，把A坐标代入方程x+2y-1=0得：a+2×3-1=0，解得：a=-5。练习2已知点A(2，3)在直线x-2y+C=0上，求C值。mx-y例：分别写出下列直线的方程：（1）直线平行于轴，且通过点（2,2）；（2）轴所在的直线y2xx4练习：分别写出下列直线的方程：（1）直线n平行于轴，且通过点（,-3）；（2）轴所在的直线;（3）直线l平行于轴，且通过点（,-7）；二．直线一般式方程的最简形式求直线方程，最后结果要化为一般式Ax+By+C=0，而且要最简形式。一般有以下几个要求：1.x的系数A应为正数；例方程为-2x+3y-1=03.系数A、B、C若有公约数要约去。例方程为4x+2y-6=02.系数A、B、C应不含分母；例方程为21-2032xy(1)23501(2)102(3)3915011(4)10321(5)2302xyxyxyxyxy练习：把下列直线方程化为一般式方程：三．直线的点向式方程1．直线的方向向量若非零向量v和直线l平行（包括v在直线l上），则v就是直线l的方向向量。如图1和图2，v都是l的方向向量。如图3，P0(x0，y0)为一已知点，v=(v1，v2)是一非零向量，过P0作直线和v平行（也就是把v做为直线的方向向量），能作几条？显然，点P0和方向向量v能确定一条直线l，所以l的方程一定是确定的下面来推导直线l的方程：设P(x，y)是直线l上任意一点（x、y必定为变量），则0PP=(x，y)-(x0，y0)=(x-x0，y-y0)，因为l∥v，所以0PP∥v，所以有：0012--xxyyvv。2．直线的点向式方程若直线l过点P0(x0，y0)，且方向向量为v=(v1，v2)（v1v2≠0），则l方程为：0012--xxyyvv此方程称为直线l的点向式方程。2-13-1xy求直线方程，最终结果要化成Ax+By+C=0的形式，这种形式称为直线的一般式方程。例3直线l过点A(-2，1)，且平行于向量v=(3，-1)，求直线l方程。由点法式得直线l方程为：化简得直线l方程为：x+3y-1=0。解：因为向量v平行于直线l，所以v是直线l的方向向量，练习3（1）直线过点A(-1，2)，且方向向量为v=(3，2)，求直线方程。2A(2-3)v(-13)3A(04)v(2-3)（）直线过点，，且方向向量为，，求直线方程。（）直线过点，，且方向向量为，，求直线方程。l二．直线的点法式方程1．直线的法向量若非零向量n和直线l垂直，则n就是直线l的法向量。如图4，n就是l的法向量。如图5，P0(x0，y0)为一已知点，n=(A，B)是一非零向量，过P0作直线和n垂直（也就是把n做为直线的法向量），能作几条？显然，点P0和法向量n能确定一条直线l，所以l的方程一定是确定的推导直线l的方程：设P(x，y)是直线l上任意一点（x、y必定为变量），则PP0=(x，y)-(x0，y0)=(x-x0，y-y0)，因为l⊥n，所以PP0⊥n，所以有：n·PP0=0，即：(A，B)·(x-x0，y-y0)=0，即：A(x-x0)+B(y-y0)=0。2．直线的点法式方程若直线l过点P0(x0，y0)，且法向量为n=(A，B)，则直线方程为：A(x-x0)+B(y-y0)=0此方程称为直线的点法式方程。例4直线过点A(-2，1)，法向量为n=(6，-2)，求直线方程。解：由点法式得直线方程为：6(x+2)-2(y-1)=0，即3x-y+7=0。41A(12)n(32)2A(30)n(-1-2)3A(4-2)n(21)练习、直线过点，，且垂直于向量，，求直线方程。、直线过点，，且垂直于向量，，求直线方程。、直线过点，，且垂直于向量，，求直线方程。作业：1．根据下列条件求出直线方程：（1）过点A(3，-4)，方向向量为v=(-2，1)；（2）过点B(-5，2)，平行于向量为v=(4，3)；（3）过点P(3，-4)，法向量为n=(-2，1)；（4）过点M(-2，1)，垂直于向量为n=(3，-4)。2．判断点A(0，3)和B(1，-2)是否在直线3x+2y-6=0上。3．已知点M(5，b)在直线x+2y-1=0上，求b值。4．已知点N(-2，3)在直线x+By+8=0上，求B值。