江苏省2015届中考数学复习讲义-专题四-三角形

南京清江花苑严老师2015届中考数学复习专题四三角形考点精选1.三角形的有关概念.知识点：三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定.[来源:学科网]考查重点：三角形三边关系，三角形内外角性质.2.等腰三角线与直角三角形.考查重点：（1）等腰（等边）三角形的判定与性质；（2）运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题；（3）运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题；（4）折叠问题；（5）将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用.3.全等三角形.知识点：全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定.考查重点：论证三角形全等，线段的倍分.[来源:学&科&网]典型例题：新题1：如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（）A．4B．4.5C．5D．5.5解析：本题考查三角形三边关系、中位线定理，三角形的两边分别为3和5，所以第三边一定大于2小于8，连接这个三角形三边中点，所得的三角形的周长等于原三角形周长的一半，所以一定大于5小于8，故选D．答案：D新题2：如图，将三角尺的直角顶点放在矩形直尺的一边上，则∠3的度数等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°解析：从条件中可得DF//EC，故∠2=∠4．又∵∠4=∠1+∠3，∴∠2∠1+∠3，∴∠3=∠2-∠1=50°-30°=20°．故答案选C答案：C新题3：如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（）A．513B．1213C．35D．45解析：由AD⊥DC，知△ADC为直角三角形．由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5，在△ACB中，∵AB2=169，BC2+AC2=52+122=169，∴AB2=BC2+AC2．由勾股定理的逆定理知：△ABC是直角三角形．∴sinB＝ACAB＝513．答案：A新题3：如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.解析：首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△321FEDCBA4321南京清江花苑严老师BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论.解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识.答案：OE⊥AB．证明：在△BAC和△ABD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB=BA．∴△BAC≌△ABD．∴∠OBA＝∠OAB,∴OA＝OB．又∵AE＝BE,∴OE⊥AB．[来源:学+科+网Z+X+X+K]基础训练：1.（2014年徐州3分）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于【】A.3B.2C.3或5D.2或62.（2014年无锡3分）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是【】A.∠1=∠3；B.∠2+∠3=180°；C.∠2+∠4＜180°；D.∠3+∠5=180°3.（2014年江苏苏州3分）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为【】A．30°B．60°C．70°D．150°（2题）（4题）（5题）4.（2014年江苏南通3分）如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为【】A.160°B.140°C.60°D.50°5.（2014年江苏淮安3分）如图，直解三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1=56°，则∠2的度数为【】A.56°B.44°C.34°D.28°6．（2014年扬州3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60º，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN【】A.1333B.1152C.932D.25南京清江花苑严老师7．（2014年江苏盐城3分）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为【】A.40B.50C.60D.708．（2014年江苏泰州3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是【】A．1，2，3B．112，，C．113，，D．123，，9．（2014年江苏连云港3分）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为1S、2S，则【】A.121SS2；B.127SS2；C.12SS；D.128SS5（9题）（10题）10．（2014年江苏淮安3分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为【】A.5B.6C.7D.2511．（2014年江苏苏州3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为。（11题）（12题）12．（2014年江苏苏州3分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为。13．（2014年江苏徐州3分）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=°．14．（2014年江苏宿迁3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=4，CD=2，则AB的长是．15．（2014年江苏无锡2分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．南京清江花苑严老师16．（2014年江苏无锡2分）如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于．（16题）（17题）17．（2014年江苏苏州3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝12∠BAC，则tan∠BPC＝．18．（2014年江苏常州2分）若∠=30°，则∠的余角等于度，sin的值为.19．（2014年江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC.（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.20．（2014年江苏无锡6分）如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．21．（2014年江苏泰州10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．（1）求证：BE=AF；南京清江花苑严老师（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．22．（2014年江苏苏州6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．23．（2014年江苏南京8分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？24．（2014年江苏南京11分）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．南京清江花苑严老师【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．[来源:学_科_网Z_X_X_K]【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据▲，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．25．（2014年江苏淮安8分）如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．南京清江花苑严老师[来源:学*科*网Z*X*X*K]26．（2014年江苏扬州10分）如图，⊙O与RtABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知B30，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4.（1）求证：DE∥BC；（2）若AF=CE，求线段BC的长度.南京清江花苑严老师参考答案1—10题：DDABCADDCA6．11．22km；12．（203，453）；13．150；14、43；15、8；16、43；17、43；18、600，12。19．解：（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，ADABACACDCBC，∴△ADC≌△ABC（SSS）.∴∠1=∠2。（2）四边形BCDE是菱形，理由如下：如答图，∵∠1=∠2，DC=BC，∴AC垂直平分BD.∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形.∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形．20．南京清江花苑严老师21．解：（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE.∴AF=DE.22．解：（1）证明：由旋转可得CD=CE，且∠DCE=900，∵∠DCB+∠DCF=900，∠ECF+∠DCF=900，∴∠DCB=∠ECF.又∵CF=CB，∴△BCD≌△FCE（SAS）.（2）∵EF∥CD，∴∠E+∠DCE=1800.又∵∠DCE=900，∴∠E=900.23．南京清江花苑严老师24．解：（1）HL.（2）证明：如答图1，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH.在△CBG和△FEH中，∵CBGFEHGH90BCEF，25．26．南京清江花苑严老师