2015届高考数列专题复习

考点一：求数列的通项公式1.由an与Sn的关系求通项公式:由Sn与an的递推关系求an的常用思路有：①利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．②转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n的关系，再求an.[例1]已知数列{an}的前n项和为(1)Sn＝3n－1，(2)Sn＝n2－n＋1,分别求它的通项公式an.解.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2×3n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2×3n－1.故数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1.解：∵a1＝S1＝12－1＋1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2.∴an＝＝，2n－1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5ak8，则k＝()A.9B.8C.7D.62.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求数列{an}的通项公式．1.解析：选B由an＝Sn＝Sn－Sn－1＝－＝，2n－，得an＝2n－10.由52k－108得7.5k9，由于k∈N*，所以k＝8.2.解：由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2.由已知a1＝S11，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an＝3n－1.2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．（1）当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；（2）当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；（3）当出现anan－1=f(n)时，用累乘法求解.[例2]根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(3)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝3.∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，∴an＋1＝2×3n－1.∴an＝2×3n－1－1.(2)∵an＝n－1nan－1(n≥2),∴an－1＝n－2n－1an－2,…,a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘,an＝a1×12×23×…×n－1n＝a1n＝1n.(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋2(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝32n2＋n2.1．(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．1.解(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n1时有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.于是a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2，…an－1＝nn－2an－2，an＝n＋1n－1an－1，将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝＋2.综上可知，数列{an}的通项公式an＝＋2.3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．（3)数列{an}的最大(小)项的求法可以利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1，找到数列的最大项；利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1，找到数列的最小项.[例3]已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4，①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1an成立．求实数k的取值范围．解(1)①由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.②an＝n2－5n＋4＝n－522－94的对称轴为n＝52.又n∈N*,∴n＝2或n＝3时,an有最小值,其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k232，即得k－3.1.已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为()A.172B.212C.10D.212.数列{an}的通项an＝nn2＋90，则数列{an}中的最大值是()A.310B.19C.119D.10603.(2012·福建高考)数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．04.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．5.设数列{an}的前n项和为Sn，点n，Snn(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn＝3anan＋1,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tnm20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.6．(2012·浙江高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.(1)求an，bn；(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.1.解析：选B由已知条件可知：当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，又n＝1时，a1＝33适合，故an＝n2－n＋33.又ann＝n＋33n－1，令f(n)＝n＋33n－1，f(n)在[1,5]上为减函数，f(n)在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝535，f(6)＝212，所以f(5)f(6)．故f(n)＝ann的最小值为212.2.解析：选C因为an＝1n＋90n，运用基本不等式得1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝119最大．3.解由题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2012＝503×2＝1006.4.解析：∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－10n)－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也满足an＝2n－11，∴an＝2n－11.∴nan＝2n2－11n＝2n2－112n＝2n－1142－12116＝2n－1142－1218.又∵n∈N*，∴当n＝3时，nan取最小值．5.解：(1)依题意得，Snn＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5.所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝3anan＋1＝3－＋－5]＝1216n－5－16n＋1，故Tn＝i＝1nbi＝121－17＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1＝121－16n＋1.因此，使得121－16n＋1m20(n∈N*)成立的m必须且仅需满足12≤m20，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.6.解：(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，易知当n＝1时也满足通式an＝4n－1，所以an＝4n－1，n∈N*.由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.考点二：等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an－an－1＝常数(n≥2)anan－1＝常数(n≥2)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(5){an}为等比数列，an0⇔{logaan}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a0且a≠1)性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)an＝am＋(n－m)d(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，即2(S2m－Sm)＝Sm+(S3m－S2m)(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a2p.(2)an＝amqn－m(3)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．前n项和Sn＝1＋an2＝na1＋－2d(1)q≠1，Sn＝a1－qn1－q＝a1－anq1－q(2)q＝1，Sn＝na11.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3.用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点