数学归纳法练习题

数学归纳法练习题一、选择题1.用数学归纳法证明121*11(,1)1nnaaaanNaa,在验证1n成立时,左边所得的项为()A.1B.1+aC.21aaD.231aaa2.用数学归纳法证明111111111234212122nnnnn*()nN,则从k到k+1时,左边所要添加的项是()A.121kB.112224kkC.121kD.112122kk3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,nnxy能被xy整除”第二步的归纳假设应写成()A.假设*21()nkkN正确,再推23nk正确;B.假设*21()nkkN正确,再推21nk正确;C.假设*()nkkN正确,再推1nk正确;D.假设(1)nkk正确,再推2nk正确.二、填空题4.数列na中,111,21nnnaaaa,则数列的前5项为,猜想它的通项公式是5.猜想1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,……的第n个式子为6.用数学归纳法证明“当*2351,12222nnN时是31的倍数”时,1n时的原式是,从k到1k时需添加的项是三、解答题7.求证:对于整数0n时,2211112nn能被133整除.8.若*nN,求证:23sincoscoscoscos22222sin2nnn.9.若*nN,且2n,求证:1111312224nnn.10.数列na满足,2nnSna*nN,先计算前4项后,猜想na的表达式,并用数学归纳法证明.11.是否存在自然数m,使得()(27)39nfnn对于任意*nN都能被m整除,若存在,求出m;若不存在,请说明理由.12.正数数列na中,11()2nnnSaa.⑴求123aaa、、;⑵猜想na的表达式并证明.13.设*nN,试比较3(1)!nn和的大小.【答案】一、选择题1.C2.D3.B二、填空题4.11111,,,,23456.11nan(*nN)5.12114916(1)(1)(1234)nnnn6.23412222,55152535422222kkkkk.三、解答题(略解)7.①0n时,原式=21112133能被133整除;②设nk时,2211112kk能被133整除1nk时,原式=3232212123111211(1112)111212kkkkkk=2212111(1112)12133kkk能被133整除.8.①1n时,左=cos2,右=sincos22sin2,左=右②设nk时,23sincoscoscoscos22222sin2kkk1nk时,2311sin(coscoscoscos)coscos2222222sin2kkkkk=111111sinsincos22sincos2sin222kkkkkk9.①2n时,左=11713341224②设nk时,1111312224kkk1nk时,左=1111222122kkkk=111111()12212122kkkkkk∵111110121222122kkkkk,∴左1324.10.计算得:123437151,,,248aaaa.猜想1212nnna①1n时,计算得11a,结论成立;②设nk时,1212kkka,则1nk时,11111121[2(1)](2)2kkkkkkkkaSSkakaa∴11212kkka.11.(1)36,(2)108,(3)360fff.猜想m的值应为其最大公约数36.①1n显然正确.②设nk正确即()(27)39kfkk能被36整除.则1nk时,11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239kkkfkkk13[(27)39]18(31)kkk能被36整除.12.⑴11a,221a,332a⑵猜想:1nann①1n显然正确.②设nk正确即1nakk则1nk时1111111[()(1)]21kkkkkaSSakkakk211210kkaka,解得(取正值)11kakk.13.3=31(1+1)!=2,9=32(2+1)!=6,27=33(3+1)!=24,81=34(4+1)!=120,……猜想:1,2,3n时,3(1)!nn;当4n时,3(1)!nn①4n时,显然成立;②设nk时,结论成立,即3(1)!kk则1nk时1333(1)!3(1)!(2)(2)!kkkkkk(∵4,32kk)即13(11)!kk