81电路分析-拉普拉斯变换

第15章拉普拉斯变换15.9卷积定理15.1拉普拉斯变换15.2常用函数的拉普拉斯变换15.3拉普拉斯变换的基本性质15.5复频域中的电路定律、电路元件与模型15.6拉普拉斯变换法分析电路15.7网络函数15.8网络函数的极点和零点15.4拉普拉斯反变换本章重点本章重点.常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质.复频域中的电路定律.运算阻抗和运算导纳.拉普拉斯变换法分析电路的动态响应.网络函数.返回目录15.1拉普拉斯变换一、拉氏变换（Laplacetransformation）的定义ttfsFstde)()(0正变换de)(j21)(jjssFtfst反变换（Laplacetransformation）（inverseLaplacetransformation）f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换（Laplacepairs）对。记号ℒ[f(t)]表示取拉氏变换。ℒ-1[F(s)]表示取拉氏反变换。f(t)，t[0,)称为原函数（originalfunction），属时域（timedomain）。原函数f(t)用小写字母表示，如i(t)，u(t)。F(s)称为象函数（transformfunction），属复频域（complexfrequencydomain）。象函数F(s)用大写字母表示，如I(s)，U(s)。js称为复频率（complexfrequency）。积分下限从0开始，称为0拉氏变换。积分下限从0+开始，称为0+拉氏变换。当f(t)含有冲激函数项时，此项00+拉氏变换和0拉氏变换的区别：ttfttfttfsFstststde)(de)(de)()(0000为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从0-开始。二、拉氏变换存在条件可进行拉氏变换。存在，的全部范围内收敛，即在则时当)(de)(e)(0e)(lim000tfttftftftttt不同的f(t)，0的值不同，称0为复平面s内的收敛横坐标。0j0收敛坐标收敛轴收敛区电工中常见信号为指数阶函数，即为有限实数。是正实数，式中CMtMtfCt),0[e)(tMttftCtdede)()(00CMC选进行拉氏变换。就可以对衰减函数，为，则，选例)(ee)5(5e)(505tftfttt由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。返回目录0e1sts0)(e1tasasas10de0tst)()(.1ttf)(e)(.2ttfat)()(.3ttf00d)(tt=1s115.2常用函数的拉普拉斯变换0[()]()edsttttℒ0[e]eedatatsttℒj1[e]jtsℒ0[()]()edsttttℒ0elimstnttnttf)(.4stnsted0nststntsstdee00ttsnstnde010[]ednnsttttℒ[]nntsℒ1[]ntℒ1n当＝，21[]ts；ℒn当＝2，232[]ts；ℒ依次类推，得1[]nnntsℒ1f1(t)e-tt0例求图示两个函数的拉氏变换式ssF1)(1f2(t)e-tt0解由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个函数的拉氏变换式相同(0)t当取上式的反变换时，只能表示出0t区间的函数式返回目录1[]etsℒ115.3拉普拉斯变换的基本性质一、线性（linearity）性质111[]2jjjss22s)11(ssA1122[()](),[()]()ftFsftFs若ℒℒ12[()()]aftbft则)()(21sbFsaFℒAs[]A例1ℒ[(1e)]tA例2ℒ[sin]t例3ℒjj1[(ee)]2jttℒ二、原函数的微分（differentiation）]sin[1022tss22ss1)(10tss[()]()ftFs设ℒd()[]()(0)dftsFsft则ℒ11()0d()[]()(0)dnnnnkknkftsFssftℒ1d[cos][(sin)]dttt例1ℒℒ[()]td[()]dtt例2ℒℒ三、原函数的积分（integration）例[()]()ftFs设ℒ01[()d]()tfFss则ℒ[]tℒ0[()d]tℒ2[()]1tssℒ四、时域平移（timeshift）f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移f(t)(t-t0)不是平移[()]()ftFs设ℒ000[()()]e()stfttttFs则ℒ例1求图示函数的拉氏变换式)()()(TtttfsTsssFe11)()]()([)(Tttttf)()()()()(TtTTtTttttfsTsTsTsssFee11)(22例2求图示函数的拉氏变换式1Ttf(t)0TTf(t)0例3周期函数（periodicfunction）的拉氏变换。设f1(t)为第一个周期的函数，)2()2()()()()()(111TtTtfTtTtfttftf证：]eee1)[(321sTsTsTsF)(e111sFsT...tf(t)1T/2T011[()]()ftFsℒ11[()]()1esTftFs则ℒ2111[()]()e()e()sTsTftFsFsFsℒ)e1()e1(1)(2TssTssF)e1(12Tss)2()()(1Ttttf)e1(1)(21TsssF五、复频域平移（frequencyshift）[()]()ftFs设ℒ[e()]()tftFs则ℒ六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst初值定理若ℒ[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则22)(ss2)(1s22)(s例1例2例3存在时)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst终值定理f(t)及其导数f(t)可进行拉氏变换，且，则[e]ttℒ[esin]ttℒ[ecos]ttℒ例111lim)(0sstst例22215)(sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0(sssssiss例31)111(lim)(0ssstist返回目录1[()]tsℒ11()[1e]1-tIsssℒ15.4拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数（2）经数学处理后查拉普拉斯变换表)()()()(21sFsFsFsFn)()()()(21tftftftfn象函数的一般形式：)()()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm二、将F(s)进行部分分式展开（partial-fractionexpansion）f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式jj1()()ed02πjstftFsst较麻烦nsssF，，有不等实根120)(.1nnssksskssksF2211)(nitsiiktf1e)(1)()(11sssFssk2)()(22sssFssknssnnsFssk)()()(1ss)(1ss)(1ss)(1ss等式两边同乘(s-s1)=0)()())((lim211sFsFsssFissi)()(21iisFsF)()(21iiisFsFkki也可用分解定理求nitsiiisFsFtf121e)()()()())((lim21sFsssFkissiinniissksskssksFsFsF1121)()()()(iss)(iss)(iss)(iss等式两边同乘（s-si）)(iss应用洛比达法则求极限0021321sksksk5.2)(01SssFk2()2.55e1.5e(0)ttftt)2)(1(52sssss例1)23(5)(22ssssssF5)1)((12SssFk5.1)2)((23SssFk例252)(2ssF用分解定理2311s-2s-32223()()()ee()()3e7e(0)ttttFsFsftFsFst6554)(2ssssF)()(21iiisFsFk3221ss21122ss2()2()2ee(0)ttfttt)2)(1(32sss例323772)(22sssssFmn，用长除法，得有共轭复根)(.22sF12()jjkkFsssk1,k2也是一对共轭复数。)eeee()()j(j)j(jttkktf]ee[e)(j)(jtttk2ecos()(0)tktt1,2js假设只有两个根j1ekkj2ekk可据前面介绍的两种方法求出k1,k2。设52)(2ssssF2j11s6.26559.024j22j1222j11Sssk6.26559.024j22j1222j12Sssk)6.262cos(e559.02)(ttft0)6.262cos(e12.1ttt例2j12s法一：部分分式展开，求系数。法二：522sss22222)1(12)1(1sss1()ecos2esin2(0)2ttftttt()1.12ecos(226.6)(0)tfttt或表示为222)1(ss将F2(s)改写为(s＋)2+2222)1(11ss有相等的实根（重根）)(.32sF21211211)()()()(sskssksssFsF1)]()[(212SSsFssk1)]()[(dd211SSsFsssk21121)())((kssksssF等式两边乘21)(ss1112()ee(0)ststftkktt221)1()1(SkSk2)1(52)(sssF3)1()1(521222Ssssk2)52(dd11Sssk0e3e2)(tttftt例132322221)2()2()2(sksksk32)2(22)(ssssF例22)2()2(42233223Sssssk等式两边乘3)2(s23222213)2()2()2)((kskskssF1]22[dd21])2()2()22([dd21223322221sssssssssk2222()e2ee(0)tttftttt2)22(])2()2(22[dd2233222