N倍角正余弦公式

1正弦余弦的n倍角公式在三角学中，我们知道，有正弦余弦的倍角公式：1cos22cos2，sincos22sin；有正弦余弦的3倍角公式：cos3cos43cos3，sinsincos43sin2；有正弦余弦的4倍角公式：1cos8cos84cos24，sincos4sincos84sin3；……我们自然会想到，是不是有一般的n倍角公式呢？下面，我们就给出这样的公式。定理对任何正整数n，必有ncos[]2112210()(1)2cosnkkknknknknkkCC，nsin1[]2121210(1)2cossinnkknknknkkC。证用数学归纳法来证明这两个公式。（1）当1n时，1[]21112121110()(1)2coskkkkkkkkCC0010020101000()(1)2cosCCcos，11[]2112112110(1)2cossinkkkkkkC00000000(1)2cossinsinC，公式显然成立。（2）设已知对某个给定的正整数n，公式成立，有ncos[]2112210()(1)2cosnkkknknknknkkCC，nsin1[]2121210(1)2cossinnkknknknkkC。下面看1n时的情形：sinsincoscos)1cos(nnn[]21121210()(1)2cosnkkknknknknkkCC1[]21212210(1)2cossinnkknknknkkC2[]21121210()(1)2cosnkkknknknknkkCC1[]212121210(1)2(coscos)nkknknknknkkC[]211212110()(1)2cosnkkkknknknknknkkCCC1[]21121210(1)2cosnkknknknkkC[]212120()(1)2cosnkkknknknknkkCC1[]1211112(1)12(1)1(1)10(1)2cosnkknknknkkC[]22120(1)2cosnkknknknkkC1[]2112121(1)2cosnkknknknkkC1[]212120(2)(1)2cosnkkknknknknkkCC1[]2112120()(1)2cosnkkkknknknknknkkCCC1[]2121210()(1)2cosnkkknknknknkkCC；sincoscossin)1sin(nnn1[]212210(1)2cossinnkknknknkkC[]2112210()(1)2cossinnkkknknknknkkCC[]21122110()(1)2cossinnkkkknknknknknkkCCC[]21220()(1)2cossinnkkknknknknkkCC[]2220(1)2cossinnkknknknkkC。可见，当1n时，公式也成立。（3）所以，对任何正整数n，公式都成立。