一元二次方程的根与系数的关系--优秀教学设计(教案)

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教材分析：《一元二次方程根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2节的内容，该内容是在在学生学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。因此本节课起着承上启下的作用。二、学情分析：九年级阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在前面学习了一元二次方程的解法后，对根与系数的关系进行探究就比较容易。三、教学目标：(一)知识与技能了解一元二次方程根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和、两根之积。(二)过程与方法通过问题的引导，发现、证明并归纳一元二次方程根与系数的关系，在探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。(三)情感态度价值观在经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程中，培养观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励他们培养勇于探索的精神。四、教学策略教学方法：讲授法、练习法、课堂合作探究法。教学工具：ppt课件、白板笔。五、重点难点：重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用难点：探索发现一元二次方程根与系数关系六、教学过程：教学环节教师活动学生活动设计意图（一）创设情境（3分钟）1、问：操场的长和宽满足一元二次方程2x2-400x+15000=0的两个根，如果方程的两个根为x1、x2，你能用x1、x2表示操场的周长和面积并求出来么？2、用以前的方法解这个方程求出两个根很麻烦，是否还有别的方法---不解方程也能迅速求出操场的周长和面积？----要解决这学生能表示矩形周长=（x1+x2）×2，面积=x1x2，，并用以前的方法解方程，从而得出操场的周长和面积。问题情景的创设可以吸引学生的注意力和探索欲望。（但是用以前的方法解该方程费时间）个问题，就需要跟老师进入本节新课-----一元二次方程根与系数的关系（板书）（二）观察猜想理论验证：（15分钟）1.观察猜想二次项系数为1时根与系数的关系：活动一：观察这些方程的两根的和、两根的积与系数有什么关系？你发现了什么规律？让学生分4人为一小组进行合作探究，验证这个猜想。（教师着重引导）和学生一起归纳结论：二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项.2.猜想验证一元二次方程根与系数的关系：思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？（让学生回忆一元二次方程求根公式）活动二：思考，并继续以刚才的4人为一小组合作写出推导过程：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1,x2，则x1+x2=x1x2=.学生合作探究过程中教师巡堂指导，探究完毕各组派代表上台汇报，老师表扬并点评。师生共同归纳得到韦达定理：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：两根方程x1x2两根和x1+x2两根积x1x2x2-3x+2=0x2+5x–6=0x2-5x+4=0学生通过解方程，观察它们两根的和、积与前面系数的关系，可以发现这三个方程的二次项系数均为1，此时它们两根的和等于一次项系数的相反数，两根的积等于常数项。并能猜想：方程x2+px+q=0的两根为x1,x2。则x1+x2=-p，x1x2=q通过合作，得到验证思路：从因式分解可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1,x2，方程展开化成一般式可得方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0，将方程化为x2+px+q=0的形式，就能看出x1，x2与p，q之间的关系.学生有了刚才活动一掌握的知识，重新探究可得到方法1：若ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1,x2二次项系数化为1：方法2：若ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1,x2通过引导让学生在二次项系数是1的方程中发现一元二次方程根与系数的关系，并证明这个结论，体会观察→猜想→验证→归纳（活动1中学生可能想不出推导过程，需要教师巡堂引导，必要时白板上板书用讲授法推导）通过讨论、合作探究让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程根与系数的关系。对学生用方法1这种蕴含化未知为已知数学思想的证明给予充分肯定。1、（回归情景）操场的长和宽满足一元二次方程2x2-400x+15000=0的两个根，求操场的周长和面积？学生能利用根与系数的关系。用x1、x2表示矩形周长=（x1+x2）×2=200×2=400，面积=x1x2=7500，及时回归引入情景，解法简便，用所学新知解决问题可增添学生的自豪感。2、（例4）根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1、x2的和与积1x2-6x–15=023x2+7x–9=035x–1=4x2在学生练习完后总结注意：①不是一般式的要先化成一般式.②在使用x1+x2=－时,“－”不要漏学生利用根与系数的关系求出方程两根的和与积让学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识，及时总结易错点让学生减少错误几率。（三）巩固新知理解应用：（20分钟）3、练习1.已知方程3x2-10x+m=0的一根为，求m及另一根.37（启发学生用不同方法求出m和另一个根）总结：已知方程的一个根，求另一个根及未知的系数或常数项时，可利用根与系数的关系求解。1,370710-370377103733712122xxxxmmx解得则原方程为解得）（代入原方程得：：将解法73137131037,37,,2212221121mmxxxxxxxxx，解得解得其中：设两个根为解法让学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识。4、（拓展提高题）设x1，x2是方程2x2+4x-3=0(a≠0)的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值21111xx）（22212xx）（)1(1321xx））（（21124xxxx）（引导学生去变式，把未知的形式转变成两根的和与积的形式。总结：求关于两根的代数式的值，可先将原式子转化为含两根之和、两根之积的代数式，再利用根与系数的关系求解.学生进行变式练习此种类型为一元二次方程根与系数的常见题型，可发散学生思维，引导学生学会把未知转化成已知的根与系数的关系问题。（几道题有难度，需要教师指导和讲解）（四）小结（2分钟）（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？（2）我们是如何得到根与系数的关系的？回答：若一元二次方程ax²ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：回答：研究方法：特殊------一般未知--------已知通过小结使学生梳理本节所学内容，把握本节课的核心----一元二次方程根与系数的关系，并体验教学活动充满着探索性与创造性。（五）作业布置作业：课本17页第4题课后完成作业及时巩固当堂所学知识（六）板书设计21.2.4一元二次方程的根与系数的关系1、二次项系数是1时：x2+px+q=0根与系数的关系：x1+x2=-p,x1x2=q2、二次项系数不是1时：ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系：推导过程例题（七）教学反思本节课通过学生解一元二次方程填写表格、观察表格中的数据，发现规律得出结论，教师再引导他们进行合理的推理，从而得出一元二次方程根与系数的关系，通过知识的产生过程，让学生感受数学的思维方式，激发学生学习的兴趣。但是对于二次项系数是1的一元二次方程推导根与系数的关系，学生理解比较困难，需要教师加强引导与解释。对于二次项系数不是1的时候可以让学生分小组分任务进行推导，教师参与引导，注意把控时间，环节（3）练习较多，但也得引导学生做完一个练习及时总结知识点和易错点。