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1}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(xaxaaaxxaxxaxaxxa时,当时,当时,当时,当或时,当含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种:一、按2x项的系数a的符号分类,即0,0,0aaa;例1解不等式:0122xaax分析:本题二次项系数含有参数,044222aaa,故只需对二次项系数进行分类讨论。解:∵044222aaa解得方程0122xaax两根,24221aaaxaaax24222∴当0a时,解集为aaaxaaaxx242242|22或当0a时,不等式为012x,解集为21|xx当0a时,解集为aaaxaaax242242|22例2解不等式00652aaaxax分析因为0a,0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。解032)65(2xxaxxa当0a时,解集为32|xxx或;当0a时,解集为32|xx变式:解关于x的不等式1、0)2)(2(axx;3、ax2-(a+1)x+10(a∈R)}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(xaxxaxxaaxxxaxxaxaxa或时当时当或时当时当时当二、按判别式的符号分类,即0,0,0;例3解不等式042axx2分析本题中由于2x的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解:∵162a∴当4,4a即0时,解集为R;当4a即Δ=0时,解集为2axRxx且;当4a或4a即0,此时两根分别为21621aax,21622aax,显然21xx,∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或例4解不等式Rmxxm014122解因,012m2223414)4(mm所以当3m,即0时,解集为21|xx;当33m,即0时,解集为1321322222mmxmmxx〈或;当33mm或,即0时,解集为R。变式:解关于x的不等式:012xax时,当时,当时,当或时,当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(aaaxaaxaxxaaaxaaxxa三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类,即212121,,xxxxxx;例5解不等式)0(01)1(2axaax分析:此不等式可以分解为:0)1(axax,故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。3解:原不等式可化为:0)1(axax,令aa1,可得:1a∴当1a或10a时,aa1,故原不等式的解集为axax1|;当1a或1a时,aa1,可得其解集为;当01a或1a时,aa1,解集为axax1|。例6解不等式06522aaxx,0a分析此不等式0245222aaa,又不等式可分解为0)3(2axax,故只需比较两根a2与a3的大小.解原不等式可化为:0)3(2axax,对应方程0)3(2axax的两根为axax3,221,当0a时,即23aa,解集为axaxx23|或;当0a时,即23aa,解集为|23xxaxa或7、若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围。(]1649925a【解析】不等式可化为(4-a)x2-4x+1<0①,由于原不等式的解集中的整数恰有3个,所以0)4(41604aa,解得0<a<4,故由①得axa2121,又212141a,所以解集中的3个整数必为1,2,3,所以3<a21≤4,解得925<a≤1649一题多解专题一:一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.例1.设函数22)(2xaxxf,对于满足1x4的一切x值,都有f(x)0,求实数a的取值范围.【解析】法一:当a0时,aaxaxf12)1()(2,由x∈(1,4),f(x)0得022)1(11afa或012)1(411aafa或02816)4(41afa4所以01aa或21141aa或8341aa,所以1a或121a,即21a。当a0时,02816)4(022)1(afaf,解得a∈;当a=0时,22)(xxf,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.综上可得,实数a的取值范围是21a。.法二:由f(x)0,即0222xax,x∈(1,4),则有xxa222在(1,4)上恒成立.令21)211(222)(22xxxxg,)1,41(1x21)2()(maxgxg,所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立,只要21a即可.故a的取值范围为21a.2.已知函数1)(23cxbxxxf在区间(-∞,-2]上单调递增,在区间[-2,2]上单调递减,且b≥0.(1)求f(x)的表达式;(2)设0m≤2,若对任意的x1、x2∈[m-2,m]不等式|f(x1)-f(x2)|≤16m恒成立,求实数m的最小值.解析(1)由题意知x=-2是该函数的一个极值点.∵f′(x)=3x2+2bx+c,∴f′(-2)=0,即12-4b+c=0.又f(x)在[-2,2]上单调递减,∴f′(x)=3x2+2bx+c在[-2,2]上恒有f′(x)≤0.∴f′(2)≤0,即12+4b+c≤0.∴12+4b+4b-12≤0.∴b≤0,又b≥0,∴b=0,c=-12,f(x)=x3-12x+1.(2)∵f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).0m≤2,而当m-2≤x≤m时,0m≤x+2m+2,m-4≤x-2≤m-2≤0,∴f′(x)≤0,x∈[m-2,m].因此f(x)为[m-2,m]上的减函数,∴对任意x1,x2∈[m-2,m]都有|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=f(m-2)-f(m)=-6m2+12m+16≤16m,∴m≥43,即mmin=43.
本文标题:含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
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