04第六章 离散化方法

SchoolofElectricalEngineering计算机控制技术模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递函数D(z)。“等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：---零极点个数；---系统的频带；---稳态增益；---相位及增益裕度；---阶跃响应或脉冲响应形状；---频率响应特性。模拟控制器的离散化方法•离散化方法很多•数值积分法（置换法）---一阶向后差法---一阶向前差法---双线性变换法---修正双线性变换法•零极点匹配法•保持器等价法•z变换法(脉冲响应不变法)注意：不同的离散化方法特性不同.D(z)与D(s)相比，并不能保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。1脉冲响应不变法（Z变换法）基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟滤波器的脉冲响应函数的采样值。设模拟控制器的传递函数为在单位脉冲作用下输出响应为其采样值为1)．设计原理niiiasAsEsUsD1)()()(nitaiieAsDLtu11)()(nikTaiieAkTu1)()(1)()(11sDzeAkTuzDniTaii例已知模拟控制器，求数字控制器D(z)。解：控制算法为：asasD)(11)()(zeasDzDaT)1()()(kuekaekuaTD(z)与D(s)的脉冲响应相同。若D(s)稳定，则D(z)也稳定。D(z)不能保持D(s)的频率响应。D(z)将ωs的整数倍频率变换到Z平面上的同一个点的频率，因而出现了混叠现象。其应用范围是：连续控制器D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原连续控制器D(s)。2)．脉冲响应不变法特点2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行Z变换离散化成数字控制器若D(s)稳定，则D(z)也稳定。D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。)(1)(sDsezDTs3.差分变换法基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换11()()zsTDzDs•对于给定•其微分方程为•用一阶向后差分代替微分，则ssEsUsD1)()()(0()/(),()()tdutdtetutetdt()/{()[(1)]}/dutdtukTukTT()[(1)]()ukTukTTekT1).一阶向后差分1()()()UzzUzTEz1()()/()/(1)DzUzEzTz1(1)/szT11zsTs与z之间的变换关系•两边取Z变换得•可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同•一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似11ee1sTsTzsT11zsTs平面与z平面映射关系111(1)122(1)TszTsTs•当=0（s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的圆周。•当0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。•当0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。2222211(1)()24(1)()TTzTTsj主要特性01()()szDsDz应用•变换较为方便。•采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为严重，变换精度较低，工程应用受到限制。若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有相当大的畸变。变换前后，稳态增益不变。21()0.81Dsss112(1)/(1)/122122221()()(0.81)1[(1)/0.8(1)/1],20.8,10.81szTszTDzDssszTzTTzaTbTTazbz212()12.82.8zDzzz2220.01()12.081.09zDzzz例已知，T=1s、0.1s，试用一阶向后差分法离散。当T=1s时，a=2.8，b=2.8，当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09，解可以判断，环节稳定性不变。D(s)是稳定的；D1(z)两个根分别为：D2(z)两个根分别为：均位于单位圆内分析所得结果可知：1,2=0.5000j0.3273=0.597580.5796z1,2=0.9541j0.0841=0.95780.0879z稳态增益不变0()1sDs111()112.82.8zDz210.01()112.081.09zDz单位阶跃响应基本思想：将连续域中的微分用一阶向前差分替换1()()zsTDzDs两边取Z变换得2).一阶向前差分法()/{[(1)]()}/dutdtukTukTT0()/(),()()tdutdtetutetdt[(1)]()()ukTukTTekT(1)()()zUzTEz()()/()/(1)DzUzEzTzssEsUsD1)()()(对其微分方程为用一阶向前差分代替微分1(1)jzTsTT222(1)()zTT令（单位圆）1z221(1)()TT22211TT图向前差分法的映射关系s平面与z平面映射关系主要特性•只有当D(s)的所有极点位于左半平面的以点（-1/T，0)为圆心、1/T为半径的圆内，离散化后D(z)的极点才位于z平面单位圆内s若D(s)稳定，采用向前差分法离散化，D(z)不一定稳定。只有采用较小的采样周期T，方能保证D(z)稳定。映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。例试用向前差分法离散下述传递函数21()0.81Dsss。(1)/22221()0.81(20.8)(10.8)szTDzssTzTzTT稳定性判断：要求00.8Ts•若取T=1s，则D(s)的极点将落在以(-1/T,0)为圆心，以r=1/T为半径的圆外.4.双线性变换法•变换也是z变换的一种近似(/2)(/2)eeTsTsz2(1)(1)zsTz1212TszTss与z之间的变换关系)1()1(211)()(zTzssDzD•离散化公式11()()[()()]2TUzzUzEzzEz11(1)()12()2(1)()1(1)TzUzDzzEzzTz()(1)[()(1)]2Tukukekek每个题型面积的宽度为T，上底和下底面积分别为故面积为()ek(1)ek•对于给定•其微分方程为ssEsUsD1)()()(0()/(),()()tdutdtetutetdt相当于数学的梯形积分法，即以梯形面积近似代替积分s平面与z平面映射关系主要特性•当=0（s平面虚轴)映射为z平面的单位圆周。•当0（s右半平面），映射到z平面单位圆外。•当0（s左半平面），映射到z平面单位圆内。1122211222TTTjszTTTsj22222122122TTzTTsj图双线性变换映射关系2(1)(1)zsTzDDD2jsin(/2)22jtan2cos(/2)2TTTTT•双线性变换将--整个s平面左半部到z平面单位圆内。--整个s平面右半部映射到单位圆外。--s平面虚轴映射为单位圆。--映射是一对一的非线性映射。jj/2j/2Ajj/2j/221e2eej1eeeDDDDDDTTTTTTTTz域角频率s域角频率DA2tan2TTDAD22TT•若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。•频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变DA2tan2TT当采样频率较高足够小DT双线性变换频率特性失真双线性变换的频率关系•双线性变换后环节的稳态增益不变01()()szDsDz•双线性变换后D(z)的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：sj2(e)0TD应用1)这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。2)这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。21(),1,0.20.81DsTsss2(1)22(1)22222211()0.81122(1)0.81111(41.6)(82)(41.6)zsTzDzsszzTzTzTzTTzTzTT2120.15151()0.90910.5152zDzzz2220.00921()1.81650.8532zDzzz例已知连续控制器传递函数试用双线性变换法离散，并比较D(s)与D(z)的频率特性。当T=1s时，当T=0.2s时，解：MATLAB命令：num=[1];Den=[10.81][n,d]=c2dm(num,den,1,’tustin’)n=[0.15150.30300.1515]d=[1.0000-0.90910.5152]单位阶跃响应的仿真结果•T=1s时的单位阶跃响应与连续系统响应接近•T=0.2s时的单位阶跃响应与连续系统响应非常接近。•这表明该方法精度较高。5.频率预畸变双线性变换法基本思想：双线性变换产生了频率轴的非线性畸变，预修正的目的是满足在某个选定的关键频率ω1上:1j1()(j)TDeD为实现上述要求，需将D(s/ω1)平移到D(s/ωA)处，再做Tustin变换.因为1A1A(/)()sDsD相当于在原系统传递函数s处引入一个比例因子：111A2tan2TT，•传递函数D(s)，修正双线性变换为111tan(/2)1()()zsTzDzDsTustin变换式11A12111tan(/2)1zzsTzTz211zsTz主要特性该方法本质上仍为双线性变换法，具有双线性变换法的各种特性。由于采用了频率预修正，故可以保证在ω1处连续频率特性与离散后频率特性相等，但在其他频率处仍有畸变。应用主要用于将连续控制器离散时，要求在某些特征频率处，离散前后频率特性保持不变的场合。21(),10.81DsTsssn1rad/s例已知连续控制器传递函数试用预修正双线性变换法离散，设关键频率为解：修正双线性变换法离散后，可得111121.83tan(/2)11221()0.810.1720.3440.1720.8080.4963zzsTzzDssszzzz1rad/s1rad/s•图(b)为双线性变换法的Bode图（其中实线为连续环节的频率响应曲线）。从图中可见，在关键频率处，连续与离散环节的频率响应相差较大。•图(a)为修正双线性变换法的Bode图。从图中可见，在关键频率处，连续与离散环节的频率响应相等，在其附近，连续与离散环节的频率响应也较接近。1rad/s1rad/s6零、极点匹配法基本思想：将D(s)的零点和极点均按z=eTs关系一一对应地映射到Z平面上特点1()(e)()e()(1)()(e)iizTisTnmmmpTinmkszkzDszDzzspz•零、极点分别按匹配。•若分子阶次m小于