场论及张量初步

第一章场论及张量初步主要内容(A)场论：梯度，散度，旋度(B)张量：二阶张量1.1场的定义及分类场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或矢量函数标量场矢量场r是空间点矢径，x,y,z是r的直角坐标，t是时间参数地形等高线图圆管横截面上的颗粒浓度场分布圆管横截面上的气流压力场分布全国范围内温度场分布速度场速度场速度场电场磁场均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等定常场：场内函数值不随时间t改变均匀场定常场1.1场的几何表示等高线等高线根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数-高度的变化状况矢量场的几何表示矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向则采用矢量线来表示。矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合根据矢量定义有：0rda直角坐标形式：rrrd1.3梯度-标量不均匀性的量度对于给定标量场(r,t)，用它的梯度来表明在任一时刻标量场中每点邻域内的函数变化。函数在M点上沿曲线S方向的方向导数：表明函数φ(r,t)在M点上沿曲线S方向的变化率证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法线方向上的方向导数来表示110)()(lim1MMMMnMMMMMMsMM)()(lim0),cos(1snMMMM)()(1MM当M1无限接近M时，近似为过M1点的切线MMMMsMM)()(lim0),cos(1snMMMM)()(1MM110)()(lim),cos(1MMMMsnsMM110)()(lim),cos(1MMMMsnsMMnsns),cos(nsns),cos(ns函数在n方向的方向导数最大，在n方向变化最快。梯度：存在这样一个矢量，其方向为过M点的等位面法线方向，大小为这个方向上的方向导数，这个矢量为函数在M点的梯度，用它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀性的量度。nngradnngrad其他方向的方向导数可以由过M点的梯度的大小来表示nsns),cos(grads梯度在直角坐标系中的表达式nngradkxjyixgrad梯度的主要性质梯度的主要性质定理1梯度满足关系式：graddrd反之，若adrd则gradagrad梯度的主要性质正定理证明：已知标量函数的全微分：dzzdyydxxdkxjyixgrad梯度的直角坐标形式：kdzjdyidxdr梯度的主要性质dgraddrdzzdyydxxkxjyixgradkdzjdyidxdr物理意义：函数在M点dr方向的增量等于M点处的梯度在dr方向的投影rrrdgradd梯度的主要性质定理2若a=grad，且是矢径r的单值函数，则沿封闭曲线L的线积分：0dra反之，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分0dra则矢量a必为某一标量函数的梯度，即a=grad梯度的主要性质正定理证明：ddrgraddra由于是矢径r的单值函数，则沿封闭曲线L的线积分：drad01.4矢量的通量.散度.奥高定理对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一曲面S，并在S上取一面积元dS，在dS上取一点M，n为S面上过M点的法线方向的单位矢量an：矢量a在法线方向的投影andS:矢量a通过面积元dS的通量1.4矢量的通量.散度.奥高定理在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量dSasn实质上相当于函数的面积分1.4矢量的通量.散度.奥高定理当S面为封闭曲面时，通量为：dSasn1.4矢量的通量.散度.奥高定理当封闭曲面S包围的体积为V，用矢量a的通量除以V(求单位体积的通量)，且当V→0时，将极限定义为矢量a的散度：VdSadivasnVlim0VdSasn1.4矢量的通量.散度.奥高定理证明当矢量a具有连续一阶偏导数时，此极限(即散度存在由高等数学中的奥高定理得：dVzayaxadSaVzyxsn实质上是面积分与体积分之间的关系1.4矢量的通量.散度.奥高定理因体积分中被积函数是连续的，根据中值定理可知，能够在积分体上找到确定的一个点Q，满足：QzyxVzyxzayaxaVdVzayaxa函数在体积V上的积分在积分体上Q点处的函数值QzyxsnzayaxaVdSa注意：Q点是积分体上的一个确定点1.4矢量的通量.散度.奥高定理VdSadivasnVlim0QzyxsnzayaxaVdSaQzyxVzayaxadiva0lim1.4矢量的通量.散度.奥高定理QzyxVzayaxadiva0lim0V)(任意点MQzayaxadivazyx1.4矢量的通量.散度.奥高定理VsndivadVdSadVzayaxadSaVzyxsn1.5无源场及其性质diva=0的矢量场称为无源场或管式场。具有以下主要性质：(1)无源矢量a经地矢量管任一横截面上的通量保持同一数值(2)矢量管不能在场内发生或终止。(3)无源矢量a经过张于已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。L1.6环量.旋度.斯托克斯定理对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一曲线L作线积分LzyxLdzadyadxadra若L为封闭曲线，则矢量a沿L的环量为：LzyxLdzadyadxadra1.6环量.旋度.斯托克斯定理对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一点M，围绕M取无限小封闭曲线L，张于L上的曲面为S，按右手螺旋法则定义S的法线方向n。1.6环量.旋度.斯托克斯定理作矢量a沿曲线L的环量并除以曲面面积S，当L向M点收缩，面积S趋于0时，定义矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影为：SdraarotLSn0lim1.6环量.旋度.斯托克斯定理极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系zayaarotyzxxazaarotzxyyaxaarotxyz1.6环量.旋度.斯托克斯定理极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系zyxaaazyxkjiarot1.6环量.旋度.斯托克斯定理Stockes公式：线积分与面积分的关系dSarotdSarotdraSSnL1.7无旋场及其性质rota=0的矢量场称为无旋场grada0dSarotdraSL0arotgrada梯度的性质定理2(书中P8-9)1.7无旋场及其性质grada0arotkxjyixgrada0zyxzyxkjiaaazyxkjiarotzyx1.8微分算子-微分及矢量运算法则222222zyx拉普拉斯算子：只进行微分运算222222zyx1.8微分算子-微分及矢量运算法则zkyjxi哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时要符合矢量代数和矢量分析中的所有法则；另一方面又是一个微分算子，只对位于算子右边的量发生微分作用1.8微分算子-微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度1.8微分算子-微分及矢量运算法则用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度1.9矢量与标量场的基本运算公式1.9矢量与标量场的基本运算公式1.9矢量与标量场的基本运算公式矢量运算基本法则)()()(BACCABCBAACBBACBAC)()()(CAB)((B)张量初步张量的定义二阶张量对称张量与反对称张量张量分解定理共轭张量张量的定义张量（tensor)是几何与代数中的基本概念之一。从代数角度讲，它是矢量的推广。我们知道，矢量可以看成一维的“表格”（即各分量按照顺序排成一排），即一阶张量；矩阵是二维的“表格”（各分量按照纵横位置排列），即二阶张量；那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。张量的定义从物理意义上来说，张量（tensor)是一个在三维坐标系中具有3r个分量的物理量。333231232221131211ij333231232221131211ij应力张量应变张量二阶张量(32=9个分量)333231232221131211ppppppppppPij二阶共轭张量(转置)332313322212312111ppppppppppPjic333231232221131211ppppppppppPij二阶对称张量：六个未知分量332313232212131211ppppppppppPijcjiijppcPP二阶反对称张量：三个未知分量000233123123112pppppppPijcjiijpp000121323231p312p123p张量分解定理二阶张量可以唯一地分解成为一个对称张量和一个反对称张量之和。ccPPPPP2121二阶共轭张量(转置)332313322212312111ppppppppppPjic333231232221131211ppppppppppPijcPP21332332133123322221121331211211212121212121ppppppppppppppp二阶对称张量cPP21021212102121210322313313223211213312112pppppppppppp二阶反对称张量