2005年考研数学试题答案与解析(数学一)

2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线122xxy的斜渐近线方程为.4121xy【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=212lim)(lim22xxxxxfxx，41)12(2lim)(limxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为.4121xy（2）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为.91ln31xxxy.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：])([)()(CdxexQeydxxPdxxP，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为xyxyln2，于是通解为]ln[1]ln[2222CxdxxxCdxexeydxxdxx=2191ln31xCxxx，由91)1(y得C=0，故所求解为.91ln31xxxy（3）设函数181261),,(222zyxzyxu，单位向量}1,1,1{31n，则)3,2,1(nu=33.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量cos,cos,{cosn}的方向导数为：coscoscoszuyuxunu因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为3xxu，6yyu，9zzu，于是所求方向导数为)3,2,1(nu=.33313131313131（4）设是由锥面22yxz与半球面222yxRz围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则zdxdyydzdxxdydz3)221(2R.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】zdxdyydzdxxdydzdxdydz3=.)221(2sin33200402RdddR（5）设321,,均为3维列向量，记矩阵),,(321A，)93,42,(321321321B，如果1A，那么B2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321B=941321111),,(321，于是有.221941321111AB（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X,,2,1中任取一个数，记为Y,则}2{YP=4813.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】}2{YP=}12{}1{XYPXP+}22{}2{XYPXP+}32{}3{XYPXP+}42{}4{XYPXP=.4813)4131210(41二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则f(x)在),(内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当1x时，11lim)(3nnnxxf；当1x时，111lim)(nnxf；当1x时，.)11(lim)(3133xxxxfnnn即.1,11,1,,1,)(33xxxxxxf可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=221x,排除(D);故应选(A).（9）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A)2222yuxu.（B）2222yuxu.(C)222yuyxu.(D)222xuyxu.[B]【分析】先分别求出22xu、22yu、yxu2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(yxyxyxyxxu，)()()()(yxyxyxyxyu，于是)()()()(22yxyxyxyxxu，)()()()(2yxyxyxyxyxu，)()()()(22yxyxyxyxyu，可见有2222yuxu，应选(B).（10）设有三元方程1lnxzeyzxy，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).[D]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1lnxzeyzxy,分别求出三个偏导数yxzFFF,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=1lnxzeyzxy,则zeyFxzx，yzxFy，xeyFxzzln，且2)1,1,0(xF，1)1,1,0(yF，0)1,1,0(zF.由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).故应选(D).（11）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是(A)01.(B)02.(C)01.(D)02.[B]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)(21211Akk，则022211211kkk，0)(2221121kkk.由于21,线性无关，于是有.0,022121kkk当02时，显然有0,021kk，此时1，)(21A线性无关；反过来，若1，)(21A线性无关，则必然有02(,否则，1与)(21A=11线性相关)，故应选(B).方法二：由于21212211121101],[],[)](,[A，可见1，)(21A线性无关的充要条件是.001221故应选(B).（12）设A为n（2n）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,**,BA分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换*A的第1列与第2列得*B.(B)交换*A的第1行与第2行得*B.(C)交换*A的第1列与第2列得*B.(D)交换*A的第1行与第2行得*B.[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得BAE12，于是12*11212*12***12*)(EAEEAEAAEB，即*12*BEA,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件}0{X与}1{YX相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[B]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件}0{X与}1{YX相互独立，于是有}1{}0{}1,0{YXPXPYXXP，即a=))(4.0(baa,由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).（14）设)2(,,,21nXXXn为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，2S为样本方差，则(A))1,0(~NXn(B)).(~22nnS(C))1(~)1(ntSXn(D)).1,1(~)1(2221nFXXnnii[D]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和2分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10NXnnX，可排除(A);又)1(~0ntSXnnSX，可排除(C);而)1(~)1(1)1(2222nSnSn，不能断定(B)是正确选项.因为niinXX222221)1(~),1(~，且niinXX222221)1(~)1(~与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221nFXXnnXXniinii故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设}0,0,2),{(22yxyxyxD，]1[22yx表示不超过221yx的最大整数.计算二重积分Ddxdyyxxy.]1[22【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令}0,0,10),{(221yxyxyxD，}0,0,21),{(222yxyxyxD.则Ddxdyyxxy]1[22=122DDxydxdyxydxdydrrddrrd2021310320cossin2cossin=.874381（16）（本题满分12分）求幂级数121))12(11()1(nnnxnn的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(limnnnnnnnnn，所以当21x时，原级数绝对收敛，当21x时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记121(1)(),(1,1)2(21)nnnSxxxnn，则1211(1)(),(1,1)21nnnSxxxn，122211()(1),(1,1)1nnnSxxxx.由于(0)0,(0)0,SS所以2001()()arctan,1xxSxStdtdtxt200