第二章-伪随机码

第二章伪随机码主讲：侯春燕#2主要内容2.1伪随机码的概念2.2m序列2.3Gold序列2.4M序列2.1伪随机码的概念伪随机码（PseudoRandomCode，PseudoNoiseCode，PN码，伪噪声码）是一种具有类似白噪声性质的码，也称为伪随机(伪噪声)序列。白噪声是随机过程，瞬时值服从正态分布，功率谱在很宽的频带内都是均匀的；具有优良的相关特性，白噪声的自相关函数类似于δ函数。但无法实现对其进行放大、调制、检测、同步及控制等操作。大部分伪随机码都是周期码，可以人为地加以产生与复制，通常由二进制移位寄存器来产生。#32.1伪随机码的概念伪随机码特点伪随机信号必须具有尖锐的自相关函数，而互相关函数值应接近0值；有足够长的码周期，以确保抗侦破与抗干扰的要求；码的数量足够多，用来作为独立的地址，以实现码分多址的要求；工程上易于产生、加工、复制与控制。#42.1伪随机码的概念讨论仅限于等长二进制码，即码字长度(周期)相等，且码元都是集合{+1，-1}的元素。设{ai}与{bi}是周期为N的两个码序列，即aN+i=ai，bN+i=bi。互相关函数若，则{ai}与{bi}正交。自相关函数#5NiτiiabbaNτR11)(NiτiiaaaNτR11)(0)(abR2.1伪随机码的概念对于二元域{0，1}的码序列{ai}，令可将二元域{0，1}映射为集合{-1，+1}。二元域与集合的映射#6iiab21二元域集合{0，1}{+1，-1}1-10+1模2加法普通乘法自相关函数也可表示为()ADADRτADN其中：A是对应码元相同的数目(同为元素1或同为元素0的数目)，D是对应码元不相同的数目。2.1伪随机码的概念狭义伪随机码若码长为N的周期序列的自相关函数具有广义伪随机码若码长为N的周期序列的自相关函数具有#7111()0,1,2,1NaiiτiτmNRτaamNτmNNiaia111()0,1,2,1NaiiτiτmNRτaamατmNN2.1伪随机码的概念例2-1：求伪随机码序列自相关函数？#82.2m序列m序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。m序列易于产生与复制，在扩频技术中得到广泛应用，并且在m序列基础上还能构成其他的码序列。直接序列扩频系统中，用于扩展基带信号；频率跳变系统中，用来控制频率合成器，组成跳频图案。m序列是最长线性移位寄存器序列，是由移位寄存器加反馈后形成的。#92.2m序列—线性移位寄存器—寄存器的状态。—第i位寄存器的反馈系统。表示无反馈；表示有反馈。当一个时钟脉冲到来时，各级状态自左向右至下一级，末级输出，同时，模2加法器输出反馈到第一级，形成新状态。#10iraic0ic1ic01rcc2.2m序列—线性移位寄存器动态线性移位寄存器反馈逻辑表示方式特征多项式递归关系式r级线性反馈移位寄存器的特征多项式为动态线性移位寄存器的递归关系式#112012()0,1rrifxccxcxcxc}1,0{2211iririiicacacaca2.2m序列—线性移位寄存器例2-2：如图四级线性移位寄存器，设寄存器的初始状态为，求移位寄存器的产生序列？当初始状态为，求移位寄存器的产生序列？当初始状态为，求移位寄存器的产生序列？#120123,,,1,0,0,0aaaa0123,,,0,1,1,0aaaa0123,,,0,0,0,0aaaa2.2m序列—线性移位寄存器例2-3：如图四级线性移位寄存器，设寄存器的初始状态为，求移位寄存器的产生序列？当初始状态为，求移位寄存器的产生序列？#130123,,,1,0,0,0aaaa0123,,,1,0,1,1aaaa2.2m序列—线性移位寄存器结论：移位寄存器产生序列具有周期性，且周期为。级数相同的线性移位寄存器的输出序列和反馈逻辑有关。同一个线性移位寄存器的输出序列还和起始状态有关。当初始状态是0状态时，移位寄存器的输出是0序列。对于级数为r的线性移位，当周期时，改变移位寄存器初始状态只改变序列的初相。这样的序列称为最大长度序列或m序列。#1421rN21rN2.2m序列—m序列的产生m序列r级线性移位寄存器，除去0状态输出序列外，能产生的序列的最大可能周期，把这样具有最大长度周期的线性移位寄存器序列称为最大(最长)周期的r级线性移位寄存器序列，简称m序列。#1521rN2.2m序列—m序列的产生本原多项式若由r次特征多项式f(x)所产生的序列是m序列，则称f(x)为r次本原多项式。式中仅指明其系数（1或0）代表的值，x本身的取值并无实际意义，也不需要去计算x的值。r级线性移位寄存器是否产生m序列，与特征多项式有密切关系，由反馈系数决定的。#162012()0,1rrifxccxcxcxcixic2.2m序列—m序列的产生部分m序列反馈系数表#17级数r周期N反馈系数ci（八进制）37134152353145,67,75663103,147,1557127203,211,217,235,277,313，325,345,3678255435,453,537,543,545,551,703,74795111021,1055,1131,1157,1167,11751010232011,2033,2157,2443,2745,34712.2m序列—m序列的产生例2-4：由表查出级数r＝4的反馈系数为23,求其本原多项式，并试画出m序列发生器的结构图。#182.2m序列—m序列的产生例2-5：由表查出级数r＝5的反馈系数为45和67,求其本原多项式，并试分别画出m序列发生器的结构图。#192.2m序列—m序列的产生问题在某些情况下，我们并不关心产生m序列移位寄存器的具体结构，而只关心m序列，即移位寄存器的输出序列。解决方法可以通过求解输出序列多项式的方法得到。输出序列多项式的系数就是所要求的输出序列。多项式称为序列的生成多项式或序列多项式。事实上，在给定特征多项式与移位寄存器初始状态的情况下，移位寄存器的输出序列被唯一确定。#20ia)(xG)(xG)(xG}{ia2.2m序列—m序列的产生【在初始状态为00…01的条件下】，线性移位寄存器的序列多项式与特征多项式关系为求输出序列步骤：1.根据给定的移位寄存器结构，给出特征多项式f(x)。2.利用G(x)=1/f(x)进行长除运算，且只计算到余数为，其中N为序列周期，长除运算中模2减按模2加运算进行。3.根据G(x)与之间的对应关系，求得线性移位寄存器序列。#21)(xG)(xf)(1)(xfxGNxja2.2m序列—m序列的产生例2-6：由表查出级数r＝3的反馈系数为13,求其生成的m序列#222.2m序列—m序列的产生例2-7：由表查出级数r＝4的反馈系数为23,求其生成的m序列。#232.2m序列—m序列的产生例2-8：由表查出级数r＝5的反馈系数为75,求其生成的m序列。#242.2m序列—m序列的性质(1)m序列的随机特性在一个周期N=2r-1内，元素0出现次，元素1出现次，元素1比元素0多出现一次。例如：3级移位寄存器生成的m序列1110100…4级移位寄存器生成的m序列100110101111000…#251(1)/221rN1(1)/22rN2.2m序列—m序列的性质例2-9：在周期为N=211-1的m序列中，元素0出现多少次？元素1出现多少次？#262.2m序列—m序列的性质游程：是指在一个序列周期中连续排列的且取值相同的码元的合称。在一个游程中码元的个数称为游程长度。在一个周期N=2r-1内，共有2r-1个元素游程。其中：长度为k(1≤k≤r-2)的元素游程占游程总数的2-k；长度为r-1的元素游程只有一个，为元素0的游程；长度为r的元素游程只有一个，为元素1的游程。也就是说：m序列中，一个周期内长度为1（单个“0”或单个“1”）的游程占总游程数的一半，长度为2的游程（即“00”或“11”连符）占总游程数的1/4，长度为3（即“000”或“111”连符）占总游程数的1/8……只有一个包含r个“1”的游程，也只有一个包含r-1个“0”的游程。#272.2m序列—m序列的性质例2-10：表中列出了长度为15（r=4）的m序列游程分布。m序列=111101011001000#28游程长度游程数目比特数“1”“0”1224211430134104游程总数为82.2m序列—m序列的性质例2-11：在周期为N=213-1的m序列中，共有多少个元素游程？有多少个长度为3的1元素游程？有多少个长度为4的0元素的游程？有多少个长度为12的1元素的游程？#292.2m序列—m序列的性质m序列与其位移序列的模2加序列仍是该m序列的另一位移序列，即例如：m序列=111101011001000#30iaiaiaiiiaaa1111010110010000011110101100101100100011110102.2m序列—m序列的性质(2)m码序列的自相关函数m序列的自相关是指m序列与逐位移位后序列相似性的一种度量。m序列的自相关函数为A：对应位码元相同的数目，或两序列模2加后0的个数，D：对应位码元不同的数目，或两序列模2加后1的个数，N：码序列中的码元数，对于m序列，#31ADADRNAD21rN121rA12rD2.2m序列—m序列的性质m序列自相关函数m序列与m码将m序列的每一比特变换为宽度为、幅度为1的波形函数。当m序列为0元素时，波形函数取正极性；否则取负极性。变换后，周期为N的m序列就变为码元宽度为、周期为的m码。#321()0,1,2,1τmNRτmτmNN(1/)cccTTRcTcNT2.2m序列—m序列的性质m码的自相关函数：在区间(一个周期)内m码的自相关函数可表示为#3311()1ccNcNτTNTRτTNccTNT)1(cNT2.2m序列—m序列的性质注意：周期为的m码的自相关函数是一周期函数（）。自相关函数=高度为(N+1)/N的周期三角形脉冲–幅度为1/N的直流分量。码元宽度Tc越小，周期N越大，m序列的自相关特性就越好。m序列的自相关函数具有理想的双值特性。#34cNTcNT2.2m序列—m序列的性质例2-12：求r=9级线性移位寄存器生成的m序列的自相关函数？#352.2m序列—m序列的性质(3)m序列的功率谱密度函数m序列的功率谱密度为其自相关函数的傅里叶变换。对信号功率谱成分的分析，可以了解线性系统输入波形所引起的畸变。信号的功率谱决定通信系统的带宽。从信道中信号功率谱的分析中了解信号之间的互干扰。#36RGf2220sinπ11()()πckcckfTNkGfδfδfNNfTNT2.2m序列—m序列的性质#372.2m序列—m序列的性质m码功率谱的特点：m码的功率谱是离散(线状)谱，谱线间隔为，m码的功率谱由基波与各次谐波组成，基波频率为，是m码时钟频率(位同步频率或称为码速率)的1/N倍。#38)/(1cNT)/(10cNTf2.2m序列—m序列的性质m码的功率谱密度函数具有抽样函数(sinx/x)2的包络，第一个零点在k=N处，即f=1/Tc，第二个零点在k=2N处，即f=2/Tc，以此类推，若n为整数时，有G(n/Tc)=0。#392.2m序列—m序列的性质m码的功率谱的带宽(通常定义为第一个零点处的频率)由码元持续时间Tc决定，带宽B=1/Tc(单边)，与码的长度N无关。#402.2m序列—m序列的性质