合情推理与演绎推理

第一节合情推理与演绎推理基础梳理1.归纳推理(1)归纳推理的定义从中推演出的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程大致如图→→.(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是,归纳所得的结论是,该结论超越了前提所包容的范围.实验、观察概括、推广猜测一般性结论个别事实一般性几个已知的特殊现象尚属未知的一般现象②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过和,因此,它不能作为的工具.③归纳推理是一种具有的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们问题和问题.2.类比推理(1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理.(2)类比推理的思维过程是:→→3.演绎推理(1)演绎推理是一种由的命题推演出的推理方法.(2)演绎推理的主要形式是三段论式推理.观察、比较联想、类推猜测新的结论逻辑证明实践检验数学证明创造性发现提出一般性特殊性命题(3)三段论的常用格式为①②③其中,①是,它提供了一个一般性的原理;②是,它指出了一个特殊对象;③是,它是根据一般原理,对特殊情况作出的判断.典例分析题型一归纳推理【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，M-P(M是P)S-M(S是M)S-P(S是P)大前提小前提结论且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是.分析归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.解质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；……猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位,即质点位置是（24,44）.学后反思归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.1.在数列{an}中，a1=1,n∈N*,试猜想这个数列的通项公式.举一反三,a22aann1n,1n2an52212a22aa3341422132234a22aa223,32a22aa112,221a1解析:,…，猜想：.题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.解（1）两实数相加后，结果是一个实数,两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有惟一解，x=-a与x=-a；（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.学后反思(1)类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.(2)类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把它与有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.举一反三（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;（2）空间中不共面的4个点确定一个球;（3）球的表面积与体积可求;（4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.证明设0＜x1＜x2,则f(x1)-f(x2)=(+bx2)-(+bx2)=(x2-x1)(-b)当0＜x1＜x2≤时，则x2-x1＞0,0＜x1x2＜,＞b,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),∴f(x)在(0,]上是减函数；当x2＞x1≥时，则x2-x1＞0,x1x2＞,＜b,∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),∴f(x)在[,+∞）上是增函数.分析利用演绎推理证明,根据单调性的定义分情况讨论.1xa2xa2x1xababa2x1xababababa2x1xa题型三演绎推理【例3】(14分)已知函数f(x)=+bx,其中a＞0,b＞0,x∈(0,+∞)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.ax学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数定义，小前提分别是f(x)在(0,]上满足减函数的定义和f(x)在[,+∞)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.baba3.用三段论证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.举一反三证明：设x1∈(-∞,1],x2∈(-∞,1],x1＜x2,则x2-x1＞0.f(x2)-f(x1)=(-x22+2x2)-(-x12+2x1)=x12-x22+2x2-2x1=(x1+x2)(x1-x2)+2(x2-x1)=(x1-x2)(x1+x2-2).∵x1＜x2≤1,∴x1+x2＜2,∴x1+x2-2＜0,∴(x1-x2)(x1+x2-2)＞0.则f(x2)-f(x1)＞0f(x2)＞f(x1),∴f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.易错警示【例】在Rt△ABC中，三边长为a,b,c,则c2=a2+b2.类比在三棱锥中有何结论?错解在三棱锥VABC中,有S2△VAB+S2△VBC+S2△VAC=S2△ABC错解分析错解错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.正解在三棱锥V-ABC中，VA⊥VB⊥VC,则S2△VAB+S2△VBC+S2△VAC=S2△ABC.考点演练10.(2010·衡水模拟)设函数f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值.解析：由题意知:f(x)+f(1-x)=∴f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]=.2222222221221221xxxx1x23226221x11.观察下列等式:①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=;②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.4343解析：由①②可看出,两角差为30°,则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想,若β-α=30°,则β=30°+α,sin2α+cos2β+sinαcosβ=.也可直接写成:sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.证明:左边=+sinαcos(α+30°)=+sinα(cosα·cos30°-sinαsin30°)4343432)60cos(2α122αcos12602αsinsin60cos2αcos122αcos1=-cos2α++cos2α-sin2α+=右边,故sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.2121214143434342αcos-12αsin4312.(创新题)小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案,现按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”.(1)试写出f(5)、f(6)的值;(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并求出f(n)的表达式;(3)求证:11113...1232ffffn解析:(1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41,f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61.(2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8,f(4)-f(3)=7+5=12,…,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n.f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=2221nn(3)证明:当k≥2时,1111111111...11...123222311113111222ffffnnnn