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1立体几何解题技巧及高考类型题—老师专用【命题分析】高考中立体几何命题特点:1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系.2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现.3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现.4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题.【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.【高考考查的重难点】空间距离和角“六个距离”:1、两点间距离221221221)()()(dzzyyxx;2、点P到线l的距离uuPQ*d(Q是直线l上任意一点,u为过点P的直线l法向量);3、两异面直线的距离uuPQ*d(P、Q分别是两直线上任意两点,u为两直线公共法向量);4、点P到平面的距离uuPQ*d(Q是平面上任意一点,u为平面法向量);5、直线与平面的距离uuPQ*d(P为直线上的任意一点、Q为平面上任意一点,u为平面法向量);6、平行平面间的距离uuPQ*d(P、Q分别是两平面上任意两点,u为两平面公共法向量);“三个角度”:1、异面直线角[0,2],cos=2121vvvv;【辨】直线倾斜角范围[0,);2、线面角[0,2],sin=nvvnnv,cos或者解三角形;3、二面角[0,],cos2121nnnn或者找垂直线,解三角形。2不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,证是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。其中,利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定,是解决立体几何问题这套强有力的工具时,使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题1、(福建卷)如图,正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2,D为1CC中点.(Ⅰ)求证:1AB⊥平面1ABD;(Ⅱ)求二面角1AADB的大小;(Ⅲ)求点C到平面1ABD的距离.考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解:解法一:(Ⅰ)取BC中点O,连结AO.ABC△为正三角形,AOBC⊥.正三棱柱111ABCABC中,平面ABC⊥平面11BCCB,GAO⊥平面11BCCB.连结1BO,在正方形11BBCC中,OD,分别为1BCCC,的中点,1BOBD⊥,1ABBD⊥.在正方形11ABBA中,11ABAB⊥,1AB⊥平面1ABD.(Ⅱ)设1AB与1AB交于点G,在平面1ABD中,作1GFAD⊥于F,连结AF,由(Ⅰ)得1AB⊥平面1ABD.1AFAD⊥,AFG∠为二面角1AADB的平面角.在1AAD△中,由等面积法可求得455AF,又1122AGAB,210sin4455AGAFGAF∠.ABCDA1C1B1ABCDC1OF3所以二面角1AADB的大小为10arcsin4.(Ⅲ)1ABD△中,1115226ABDBDADABS△,,,1BCDS△.在正三棱柱中,1A到平面11BCCB的距离为3.设点C到平面1ABD的距离为d.由11ABCDCABDVV,得111333BCDABDSSd△△,1322BCDABDSdS△△.点C到平面1ABD的距离为22.解法二:(Ⅰ)取BC中点O,连结AO.ABC△为正三角形,AOBC⊥.在正三棱柱111ABCABC中,平面ABC⊥平面11BCCB,AD⊥平面11BCCB.取11BC中点1O,以O为原点,OB,1OO,OA的方向为xyz,,轴的正方向建立空间直角坐标系,则(100)B,,,(110)D,,,1(023)A,,,(003)A,,,1(120)B,,,1(123)AB,,,(210)BD,,,1(123)BA,,.12200ABBD,111430ABBA,1ABBD⊥,.11ABBA⊥1AB⊥平面1ABD.(Ⅱ)设平面1AAD的法向量为()xyz,,n.(113)AD,,,1(020)AA,,.AD⊥n,1AA⊥n,100ADAA,,nn3020xyzy,,03yxz,.令1z得(301),,n为平面1AAD的一个法向量.由(Ⅰ)知1AB⊥平面1ABD,1AB为平面1ABD的法向量.xzABCDOFy4cosn,1113364222ABABABnn.二面角1AADB的大小为6arccos4.(Ⅲ)由(Ⅱ),1AB为平面1ABD法向量,1(200)(123)BCAB,,,,,.点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB.小结:本例(Ⅲ)采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B点到平面1AMB的距离转化为容易求的点K到平面1AMB的距离的计算方法,这是数学解题中常用的方法;解法一采用了等体积法,这种方法可以避免复杂的几何作图,显得更简单些,因此可优先考虑使用这种方法.考点2异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法,考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.典型例题2、已知三棱锥ABCS,底面是边长为24的正三角形,棱SC的长为2,且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点,求CD与SE间的距离.思路启迪:由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找,所以设法将所求异面直线的距离,转化成求直线与平面的距离,再进一步转化成求点到平面的距离.解:如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,EF为BCD的中位线,EF∥CDCD,∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离,设其为h,由题意知,24BC,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在RtSCE中,3222CESCSE在RtSCF中,30224422CFSCSF5又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31,即332331h,解得332h故CD与SE间的距离为332.小结:通过本例我们可以看到求空间距离的过程,就是一个不断转化的过程.考点3直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化.典型例题3.如图,在棱长为2的正方体1AC中,G是1AA的中点,求BD到平面11DGB的距离.思路启迪:把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.解:解法一BD∥平面11DGB,BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求,以下求点O平面11DGB的距离,1111CADB,AADB111,11DB平面11ACCA,又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA,两个平面的交线是GO1,作GOOH1于H,则有OH平面11DGB,即OH是O点到平面11DGB的距离.在OGO1中,222212111AOOOSOGO.又362,23212111OHOHGOOHSOGO.即BD到平面11DGB的距离等于362.解法二BD∥平面11DGB,BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求,以下求点B平面11DGB的距离.设点B到平面11DGB的距离为h,将它视为三棱锥11DGBB的高,则,由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV,BACDOGH6,36264h即BD到平面11DGB的距离等于362.小结:当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角【重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角.(1)求异面直线所成角的思路是:通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,进而利用平面几何知识(余弦定理、正弦定理、射线定理(12coscoscos))求解,整个求解过程可概括为:一找二证三求。(2)求异面直线所成角的步骤:①选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置斩点。②求相交直线所成的角,通常是在相应的三角形中进行计算。③因为异面直线所成的角的范围是0°<≤90°,所以在三角形中求的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角。3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。4、利用向量,设而不找,对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。方法总结:直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法典型例题4、长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。选题意图,通过该题,让学生进一步理解异面直线所成角的概念,熟练掌握异面直线所成角的求法。分析:构造三角形找中位线,然后利用中位线的性质,将异面直线所成的角转化为平面问题,解三角形求之。解法一:如图①连结B1C交BC1于0,过0点作OE∥DB1,则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB,由已知有B1D=34,BC1=5,BE=352,∴cos∠BOE=734170∴∠BOE=cosarc7341707解法二:如图②,连DB、AC交于O点,过O点作OE∥DB1,过E点作EF∥C1B,则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角,过O点作OM∥DC,连结MF、OF。则OF=732,cos∠OEF=734170,∴异面直线B1D与BC1所成的角为cosarc734170。解法三:如图③,连结D1B交DB1于O,连结D1A,则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F,则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=352,cos∠DOF=734170,∴∠DOF=cosarc734170。解法四:如图④,过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角,连结DE交AB于M,DE=2DM=35,cos∠DB1E=734170∴∠DB1E=cosarc734170。解法五:如图⑤,在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E,则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角,连结C1E,在△B1C1E中,∠C1B1E=135°,C1E=35,cos∠C1BE=734170,∴∠C1BE=cosarc734170。分析:在已知图形外补作一个相同的几何体,以例于找出平行线。解法六:如图⑥,以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则DB1∥D2B,∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角,连C1D2,则△C1D2C2为Rt△,cos∠C1BD2=-734170,∴异面直线DB1与BC1所成的角是cosarc7341
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