经济数学期末考试试卷(A卷)

经济数学期末考试试卷（A卷）一、填空题（满分15分，每小题3分）1.设21()11lnfxxx的定义域为.2.当0x时，若2ln(1)ax与sinxx是等价无穷小量，则常数a．3.设0()fxA，则000()(2)limhfxfxhh.4.设()fx在(,)上的一个原函数为sin2x，则()fx.5.设()fx为连续函数，且10()2()fxxftdt，则()fx．二、选择题：（满分15分，每小题3分）6．设sin010xxxfxx，则在0x处，)(xf（）（A）．连续（B）．左、右极限存在但不相等（C）．极限存在但不连续（D）．左、右极限不存在7.设2()sinxxfxx，则函数()fx（）（A）有无穷多个第一类间断点；（B）只有1个可去间断点；（C）有2个跳跃间断点；（D）有3个可去间断点．8．若点(1,4)是曲线23yaxbx的拐点，则()（A）6,2ab；（B）2,6ab；（C）1ab；（D）2ab．9.下列各式中正确的是（）（A）．(())()bafxdxfx（B）．()()dfxfxdx（C）．(())()dfxdxfx（D）．(())()xaftdtft10．某种产品的市场需求规律为8005Qp，则价格120p时的需求弹性d（）（A）．4（B）．3（C）．4%（D）．3%三、计算题（每小题5分，共20分）:11．求极限：11lim()1lnxxxx12．设lim()8xxxaxa，求常数a的值.13．设sinxyx，求|xdy14．设2cos3sinxtyt，求22dydx四、计算题（10分）15．设sin,0(),0xxfxaxbx．（1）确定常数,ab的值，使()fx在0x处可导；（2）求()fx；（3）问()fx在0x处是否连续．五、计算题（满分10分）16．求不定积分：11xdxe17．求广义积分：21lnxdxx六、应用题（满分20分）18．过原点作曲线lnyx的切线，求该切线与曲线lnyx及x轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所成立体的体积。19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为x吨时的边际收入函数为()1032Rxx，边际成本为2()40203Cxxx。求（1）总利润函数；（2）产量为多少时，总利润最大？七、（满分10分，每小题5分）证明题:20．设()fx在[,]ab上连续且单调递增，证明1(),()(),xaftdtaxbFxxafaxa在区间[,]ab上也单调递增.21．设()fx在[0,]2上可导，()02f，证明存在(0,)2，使得()tan()0ff答案及评分标准一、1.11(0,)(,)ee；2.1；3.2A；4.4sin2x；5.1x．二、6．（B）；7.（D）；8．（A）；9.（B）；10．（B）．三、11．【解】111ln1lim()lim1ln(1)lnxxxxxxxxxx........................（2分）1121ln111limlim1112lnxxxxxxxxx............（5分）12．【解】因为222lim()lim(1)xaaxxaxaxxxaaxaxa2lim2xaxaxaee............（3分）故28ae，因此3ln22a............................................（5分）13．【解】因sinlnsinln()(sinln)xxxxdydeedxx...............................（2分）sinlnsin(cosln)xxxexxdxx.....................（4分）所以sinlnsin|(cosln)lnxdyedxdx........................（5分）14．【解】()3cos3cot()2sin2dyytttdxxtt....................................（2分）22323(cot)3csc32()csc()22sin4tdyddyttdxdxdxxtt............（5分）【另解】函数的隐函数方程为22149xy，两边对x求导，得94dyxdxy............（2分）222239()99814()444xdyyxyxdyddyydxdxdxdxyyy............（5分）四、15．【解】（1）由()fx在0x处可导，知()fx在0x处连续且(0)f存在，因此0(0)lim()xffx，(0)(0)ff因000lim()lim()lim()xxxfxfxaxbb，(0)sin00f，故0b又00()(0)(0)limlimxxfxfaxfaxx，00()(0)sin(0)limlim1xxfxfxfxx故1a，(0)(0)(0)1fff，且sin,0(),0xxfxxx....................................（4分）（2）当0x时，()(sin)cosfxxx；当0x时，()()1fxx因此，cos,0()1,0xxfxx。...........................................（7分）（3）因为00lim()limcos1xxfxx，00lim()lim11xxfx，(0)1f所以，0lim()(0)xfxf，即()fx在0x处是否连续．.....................（10分）五、16．【解】11(1)ln(1)111xxxxxxedxdxdeeCeee.............（5分）17．12111ln1ln11ln()|()xxdxxddxxxxxx............（3分）11ln11lim|lim()(lim1)11xxxxxxxx............（5分）六、18．【解】设切点为00(,ln)xx，则由1yx得切线的斜率为01kx，切线方程为0001ln()yxxxx（1）因切线过原点，将0x，0y代入（1）式，解得0xe，故切点为(,1)e，切线方程为1ln()yexee即1yxe............（4分）该切线与曲线lnyx及x轴所围成的平面图形的面积为1111ln(ln1)|1222eeeeAexdxxx............（7分）所求旋转体的体积为2221111ln(ln2ln2)|2(1)333eeeeVexdxxxx......（10分）19．【解】由题设。有200()(0)()10(40203)xxCxCCtdtttdt23104010xxx200()(0)()0(1032)532xxRxRRtdttdtxx（1）总利润函数为223()()()(532)(104010)LxRxCxxxxxx23107215xxx（2）22()()()(1032)(40203)33072LxRxCxxxxxx()630Lxx令()0Lx，得12x（2x不合题意，舍去），(12)61230420L，故当产量为12吨时，总利润最大。七、20．【证明】因为()fx在[,]ab上连续，所以()()xaftdtFxxa在(,]ab上连续，又()()lim()limlim()()1xaxaxaxaftdtfxFxfaFaxa故()Fx在[,]ab上连续。.....................（2分）当axb时，由()fx在[,]ab上单调递增，知22()()()()[()()]()[]0()()xxxaaaftdtxafxftdtfxftdtFxxaxaxa因此()Fx在区间[,]ab上也单调递增......................（5分）21．【证明】令()sin()Fxxfx，[0,]2x，则()Fx在[0,]2上连续，且()cos()sin()Fxxfxxfx，(0,)2x...............（2分）又(0)sin0(0)0Ff()sin()0222Ff，故由Rolle定理知，存在(0,)2，使得()cos()sin()0Fff两边同除以cos，得()tan()0ff.....................（5分）庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。人生是一场跋涉，也是一场选择。我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。没有淌不过去的河，就看我们如何摆渡。没有爬不过去的山，就看我们何时启程。德国哲学家尼采说：“每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。”让我们打开朝着晨光的那扇窗，迎阳光进来，在每一个日出东海的日子，无论是鲜衣怒马少年时，还是宠辱不惊中年时，都活出自己的明媚和精彩。时间会带来惊喜，只要我们不忘记为什么出发，不忘记以梦为马，岁月一定会对我们和颜悦色，前方也一定会有意想不到的惊喜。人生忽如寄，生活多苦辛。短暂的生命旅程，别辜负时光，别辜负自己。愿我们每一个人自律、阳光、勤奋，活成自己喜欢的模样，活成一束光，