22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

第二十二章二次函数22.1二次函数第1课时22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质———提优清单———提优点1：二次函数y=ax2的图象提优点2：二次函数y=ax2的性质———典型例题———【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点Q从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的△CPQ的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【方法总结】画二次函数y=ax2的图象，一般采用如下步骤：①列表：先取原点（0，0），再在原点两侧对称地取四个点，并计算出这四个点对应的坐标x，y的值，列出函数的对应值表；②描点：把表中每对值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；③连线：按一定顺序将这5个点（两对关于y轴对称的点和原点）用平滑的曲线连接起来，即可得到函数的图象．一般来说，实际问题中函数的图象限于自变量的取值范围之内，往往只是图象的一部分．变式：（2015•浙江嘉兴月考）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）①②③④A．①②B．③④C．①③④D．②④【例2】（2014•上海闸北区一模）下列关于抛物线y=31x2和y＝−31x2的关系说法中，正确的是（）A．它们的形状相同，开口也相同B．它们都关于y轴对称C．它们的顶点不相同D．点（－3，3）既在抛物线y＝31x2上也在y＝−31x2上【方法总结】函数开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2（a0）向上（0，0）y轴当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大当x＝0时，y最小值=0y=ax2（a0）向下当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小当x＝0时，y最大值=0【例3】（2014•湖北武汉）如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝21x2交于A、B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标；（2）当k＝－21时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5．【方法总结】一般求函数交点的问题有两种方法：（1）联立函数解析式求解．因为交点就是两个函数的公共解，通过解方程来求出交点坐标．（2）图象法．分别作出函数的图象，在图象上找出交点坐标，这种方法仅适用于特殊的交点．变式：已知直线y=x＋m与抛物线y=x2，从左至右依次交于A，B两点．（1）求m的范围；（2）若AB=32，求S△AOB．———分层提优———复习巩固提优1．（☆2013•浙江丽水）若二次函数y=ax2的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4）B．（－2，－4）C．（－4，2）D．（4，－2）2．（2011•广西贺州）函数y=ax－2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．（☆☆☆2014•贵州毕节）抛物线y=2x2，y=－2x2，y＝12x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小4．（☆☆）如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y=12x2，③y=x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．（第4题图）（第5题图）5．（☆☆）已知二次函数y=12x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为．6．（☆☆☆2013•吉林长春一模）如图，抛物线y=x2，y=21x2，y=－41x2分别交矩形ABCD于F、E，若点A的横坐标为－1，则图中阴影部分面积的和为．7．（☆☆☆☆）若直线y=2x－15与抛物线y=ax2交于A、B两点，且A点横坐标为3．（1）试求抛物线y=ax2的函数表达式；（2）请在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象；（3）在（2）中，若连接OA、OB，试求△AOB的面积．综合运用提优8．（☆☆2015•江苏苏州模拟）已知a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y39．（☆☆☆2014•山东日照二模）边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．－2B．－1C．－324D．－23（第9题图）（第10题图）10．（☆☆☆2015•山东潍坊模拟）已知函数y1=x2与函数y2=－12x＋3的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－32＜x＜2B．x＞2或x＜－32C．－2＜x＜32D．x＜－2或x＞3211．（☆☆☆2014•山东日照一模）抛物线y＝aaax2开口向下，则a=．12．（☆☆☆☆2014•山东菏泽）如图，平行于x轴的直线AC分别交函数22xy（x≥0）与322xy（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则ABDE．13．（☆☆☆☆☆2012•吉林省）问题情境如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点C、点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为yE，yF．特例探究填空：当m=1，n=2时，yE=，yF=；当m=3，n=5时，yE=，yF=．归纳证明对任意m，n（n＞m＞0），猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．拓展应用（1）若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；（2）连接EF，AE．当S四边形OFEA=3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．拓广探究提优14．（☆☆☆☆☆2012•广东佛山）规律是数学研究的重要内容之一．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi012345…yi01491625…yi＋1－yi1357911…由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…．请回答：①当x的取值从0开始每增加12个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加1n个单位时，y的值变化规律是什么？———参考答案———例1．【答案】C【解析】∵运动时间x（s），则CP=x，CQ=2x，∴S△CPQ=21CA•CQ=21x•2x=x2．∴则△CPQ的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数关系式是y=x2（0≤x≤3）．变式：【答案】C【解析】可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致；也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较；还可以看一次函数与二次函数图象的交点坐标．例2．【答案】B【解析】根据两个函数知道其二次项系数a的绝对值相等，所以开口方向相反，都关于y轴对称，顶点都为原点，故选项A、C错误，选项B正确．例3．【解析】（1）∵当x=－2时，y=（－2）k＋2k＋4=4．∴直线AB：y=kx＋2k＋4必经过定点（－2，4）．∴点C的坐标为（－2，4）．（2）∵k=－12，∴直线的解析式为y=－12x＋3．联立213,21,2yxyx解得3,92xy或2,2.xy∴点A的坐标为（－3，92），点B的坐标为（2，2）．过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，过点A作AM⊥PQ，垂足为M，过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．∴yP=12a2，yQ=－12a＋3．∵点P在直线AB下方，∴PQ=yQ－yP=－12a＋3－12a2．∵AM＋NB=a－（－3）＋2－a=5．∴S△APB=S△APQ＋S△BPQ=12PQ•AM＋12PQ•BN=12PQ•（AM＋BN）=12（－12a＋3－12a2）•5=5．整理，得a2＋a－2=0，解得a1=－2，a2=1．当a=－2时，yP=12×（－2）2=2，此时点P的坐标为（－2，2）．当a=1时，yP=12×12=12，此时点P的坐标为（1，12）．∴符合要求的点P的坐标为（－2，2）或（1，12）．变式：【解析】（1）由题意得,,2xymxy∴x2－x－m=0，△=1＋4m＞0，∴m＞－41；（2）当x2－x－m=0，解得xA=2411m，yA=2411m＋m，xB=2411m，yB=2411m＋m．∵AB=32，∴22)()(ABAByyxx=32，∴1＋4m＋1＋4m=18，解得m=2，∴xA=－1，xB=2，∴S△AOB=21（xB－xA）m=21×3×2=3．1．【答案】A【解析】∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（2，4）．2．【答案】A【解析】∵在y=ax－2，∴b=－2，∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，故选项B、D错误．当a＞0时，二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，选项A正确；当a＜0时，∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，故选项C错误．3．【答案】B【解析】抛物线y=2x2和y＝12x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；抛物线y=－2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点．4．【答案】①③②【解析】二次项系数a分别为3、21、1，∵3＞1＞21，∴抛物线②y=21x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄．5．【答案】4【解析】根据抛物线的对称性，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标是－2，∵线段AB∥x轴，∴AB=2－（－2）=2＋2=4．6．【答案】43【解析】∵点A的横坐标为－1，∴y=21×（－1）2=21，y=－41×（－1）2=－41，∴点A（－1，21），B（－1，－41），∴AB=21－（－41）=43，根据二次函数的对称性，BC=1×2=2，阴影部分的面积=21S矩形ABCD=21×2×43=43．7．【解析】（1）∵A点横坐标为3，∴2×3－15=6－15=－9，∴点A（3，－9），把点A坐标代入抛物线解析式，得9a=－9，解得a=－1，所以抛物线y=－x2；（2）函数图象如图所示：（3）联立,,1522xyxy解得9,3yx或.25,5yx所以，点B的坐标为（－5，－25），设直线与y轴的交点为C，则点C（0，－15），所以S△AOB=S△AOC＋S△BOC=21×15×（3＋5）=60．8．【答案】C【解析】∵a＜－1，∴a－1＜a＜a＋1＜0，即点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在y轴左侧，∵y=x2的图象在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴y3＜y2＜y1．9．【答案】D【解析】如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE=75°，∵∠AOB=45°，∴∠BOE=30°，∵OA=1，∴OB=2，∵∠BEO=90°，∴BE=12OB=22，∴OE=62，∴点B坐标为（62，－22），代入y=ax2（a＜0）得a=－23，∴y=－23x2．10．【答案】C【解析】由y1=y2，即x2=－21x＋3，解得x1=－2，x2=23．由图象可知，若y1＜y2，抛物线位于直线的下方，则自变量x的取值范围是－2＜x＜23．11．【答案】－1【解析】依题意，得a2－a=2，解得a=－1或2，∵抛物线开口向下，∴二次项系数a＜0，即a=－1．12．【答案】3－3【解析】设设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=a，∴点B（a，a）．23x=a，则x=3a，∴点C（3a，a）．∵CD