2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第二章 第1~2节

第二章函数第一节函数的概念及其表示✎考纲解读1.了解函数的构成要素，了解映射的概念.2.在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列举法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.✎知识点精讲一、基本概念1.映射设，是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则，对中的任何一个元素，在中有且仅有一个元素与之对应，则称是集合到集合的映射.ABfAxByfAB2.象与原象如果给定一个从集合到集合的映射，那么与中的元素对应的中的元素叫的象，记作，叫的原象.的象记为.3.一一映射设，是两个集合，是到的映射，在这个映射下，对应集合中的不同元素，在集合中都有不同的象，且集合中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射叫为的一一映射.4.函数设集合是一个非空的实数集，对集合中任意实数，按照确定的法则，集合中都有唯一确定的实数值与它对应，则这种对应关系叫做集合到集合上的一个函数，记作，，其中叫做自变量，其取值范围（数集）叫做该函数的定义域.如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作或所以函数值构成的集合叫做该函数的值域.ABAaBba()bfaabA()fAABfABABBfAB,ABAxfByAB()yfxxAxAafya()yfaxay(),yyfxxA5.函数的定义域求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零.（2）偶次方根的被开方数大于或等于零.（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于.（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零.（5）三角函数中的正切的定义域是tanyxπ,π,,2xxxkkRZ且余切的定义域是.cotyx,π,xxxkkRZ且（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同.（7）对于实际问题函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.6.函数的值域求解函数值域主要有以下几种方法：（1）观察法、（2）配方法、（3）几何法、（4）均值不等式法、（5）换元法、（6）分离常数法、（7）判别式法、（8）单调法、（9）有界性法、（10）导数法.()fxfgxfgx()fxf✎题型归纳及思路提示题型10映射与函数的概念【例2.1】若构成映射，下列说法正确的有（）.①中任一元素在中必须有象且唯一；②中的多个元素可以在中有相同的原象；③中的元素可以在中无原象；④象的集合就是集合.A.①②B.③④C.①③D.②③④【解析】由映射的定义可知，①集合中任一元素在中必须有象且唯一是正确的.集合中的元素的任意性与集合中元素的唯一性构成映射的核心.显然②不正确，“一对多”不是映射；③正确；④不正确，象的集合是集合的子集，并不一定为集合.故选C.:fABAAAABBBBBBBAB题型11同一函数的判断【例2.3】在下列各组函数中，找出是同一函数的一组.(1)与；（2）与；（3）与【解析】（1）的定义域为，的定义域为，故该组的两个函数不是同一函数.（2）的定义域为；的定义域为，故该组的两个函数不是同一函数.（3）两个函数的定义域为，且对应法则也相同，故该组的两个函数是同一函数.【评注】由函数概念的两要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关，这被称为函数表示法的“无关特性”.0yx1y2yx2yx31xyx331tyt0yx1y0xxR2yx0xx…2yxR0xx题型12函数解析式的求法【例2.6】已知定义在上的函数满足，则的表达式为_________.【解析】，又或，故（）.【例2.8】已知函数，，求，的表达式.【分析】本题考查分段函数的概念，根据函数对符合变量的要求解题.【解析】由，可得当时，即当时，；R()fx2211fxxxx()fx2112fxxxx12xx…12xx„2()2fxx22xx或厔()21fxx20()10xxgxx…()fgx()gfx20()10xxgxx…2210()2()1.30xxfgxgxx…()210fxx…12x…2()21gfxx当时，即时，因此.【评注】对于分段函数的形式，不论是求值还是求分段函数表达式，一定要注意复合变量的要求.0fx12x()1.gfx21212()112xxgfxx…题型13函数定义域的求解【例2.10】函数的定义域为（）.A.B.C.D.【分析】本题考查对数、分式、根式有关的函数定义域的求解.【解析】.故选C.2ln134xyxx4,14,11,11,1210340xxx141xx11x【例2.13】若函数的定义域为，则实数的取值范围为.【分析】函数的定义域为，即在上恒成立，再利用指数函数的单调性求解.【解析】由题意知在上恒成立，所以，即有恒成立，其等价于则实数的取值范围为.22()21xaxafxRa()fxR22210xaxa…R22210xaxa…R2202112xaxa…220xaxa…244010.aaa剟?a1,0题型14函数值域的求解【例2.18】求函数的值域.【解析】令，，得，.因为函数的对称轴，所以函数在区间上单调递增，因此值域为，故函数的值域为()3423,1,2xxfxx2xt1,42t233ytt1,42t233ytt16t1,4213,474()fx13,47.4【例2.19】求的值域.【分析】本例中的函数是关于的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解.【解析】由题意，因为，故.，，故所求函数的值域为.【评注】本题除可以使用分离常数法求解外，还可以使用反解出，利用求解的范围，读者可自行完成.2e1e2xxyex2e12e4332e2e2e2xxxxxye0x330e22x3302e2x13222e2x1,22exe0xy第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性✎考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.✎知识点精讲1.函数的奇偶性定义设，（为关于原点对称的区间），如果对于任意的，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意的，都有，则称函数为奇函数.()yfxxAAxA()()fxfx()yfxxA()()fxfx()yfx2.函数的单调性定义给定区间上函数，若对于任意的，当时，都有（或），则称函数在区间上是单调递增（或单调递减）的，区间为函数的增（减）区间.3.函数的周期性定义设函数存在非零常数，使得对任何，都有，则函数为周期函数，为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫最小正周期.✎题型归纳及思路提示D()fx12,xxD12xx12()()fxfx12()()fxfx()fxDD()fx()yfx()xDTxD()()fxTfx()fxT题型15函数的奇偶性【例2.25】判断下列函数的奇偶性.(3)；（4）（5）；（7）【分析】利用定义来判断函数的奇偶性分两步：（1）判断定义域的对称性；（2）判断解析式是否满足等量关系：.【解析】（3）由可知：，故函数的定义域为，定义域不具对称性，故为非奇非偶函数.236()33xfxx22()11fxxx22()log1fxxx22(0)().(0)xxxfxxxx()()fxfx236()33xfxx2360660,6330xxxxx…剟()fx6006xxx或„()fx（4）由，故函数的定义域为，关于原点对称，又因此时，所以，所以函数是既奇又偶函数.（5）因为对任意实数，都有，故定义域为，且故为奇函数.（7）当时，，，当时，，.故为奇函数.【评注】利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：（1）必须首先判断的定义域是否关于原点对称，（2）有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例(4).222101110xxxx……()0fx()fx1,1()()()fxfxfx()fxx210xxxx…R2222221()log1loglog1(),1fxxxxxfxxx()fx0x0x2()()fxxxfx0x0x2()()fxxxfx()fx()fx【例2.31】函数，若，则的值为（）.A.B.C.D.【分析】函数中为奇函数，利用函数的性质求解.【解析】令，则，得由为奇函数，故，所以故选B.【评注】本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解.3()sin1()fxxxxR()2fa()fa30123()sin1fxxx3sinyxx3(),gxxx()()1fxgx()12ga()1.ga()ygx()1ga()()10.faga题型16函数的单调性（区间）【例2.33】设是函数的一个减区间，则实数的取值范围为（）.A.B.C.D.【分析】作出函数的图像，找出递减区间，从而确定的取值范围.【解析】由，得知为偶函数，其图像关于轴对称.只要画出当时的图像，然后将其关于轴对称即可得到部分的图像.如图2-4所示.可知若为函数的减区间，则.故选B.图2-4,a24||5yxxa2a…2a„2a…2a„a24||5yxx()()fxfx()yfxy0x…y0xyx2O25,a()fx2a„【例2.35变式1】定义在R上的函数满足𝑓0=0，𝑓𝑥+𝑓1−𝑥=1，𝑓𝑥5=12𝑓(𝑥)，且当0≤𝑥1𝑥2≤1时，𝑓(𝑥1)≤𝑓(𝑥2)，则𝑓12010=_____.【分析】当𝑥1𝑥2时，𝑓(𝑥1)≤𝑓(𝑥2)，可知𝑓𝑥为非减函数，求这类函数值时用夹逼的方法解答.由𝑓0=0，𝑓𝑥+𝑓1−𝑥=1，可得𝑓12=12，【解析】𝑓1=1−𝑓0=1，𝑓15=12𝑓1=12，当𝑥∈15,12时，12=𝑓15≤𝑓𝑥≤𝑓12=12，所以𝑓𝑥=12，𝑥∈15,12.同理，当𝑥∈125,110，𝑓𝑥=14，当𝑥∈1125,150，𝑓𝑥=18，当𝑥∈1625,1250，𝑓𝑥=116，当𝑥∈13125,11250，𝑓𝑥=132，又因为131251201011250，所以𝑓12010=132.