七年级数学上册-考点训练：欧拉公式-课后练习

智能一对一，解决作业难题，提高数学成绩【考点训练】欧拉公式-1一、选择题（共5小题）1．正方体的顶点数、面数和棱数分别是（）A．8、6、12B．6、8、12C．8、12、6D．6、8、102．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（）A．十八边形B．八边形C．六边形D．四边形3．设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（）A．26B．2C．14D．104．一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（）A．10个B．9个C．8个D．7个5．正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E=2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（）A．6B．8C．12D．20二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．一个棱柱有18条棱，那么它的底面是_________边形．7．长方体有_________个面；有_________条棱．8．（2011•南海区模拟）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是_________．三、解答题（共3小题）（选答题，不自动判卷）9．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体44_________长方体8612正八面体_________812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_________．（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_________．（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．10．（2010•宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体44长方体8612正八面体812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_________．（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_________．（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．11．（2009•凉山州）观察下列多面体，并把下表补充完整．观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数a61012棱数b91215面数c58【考点训练】欧拉公式-1参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．正方体的顶点数、面数和棱数分别是（）A．8、6、12B．6、8、12C．8、12、6D．6、8、10考点：欧拉公式．1527949分析：根据正方体有8个顶点，6个面，12条棱即可作答．解答：解：正方体的顶点数是8个，有6个面，棱有12条．故选A．点评：本题考查了正方体的知识，正方体有几个顶点、几个面、几条棱是需要我们熟练记忆的内容．2．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是（）A．十八边形B．八边形C．六边形D．四边形考点：欧拉公式．1527949分析：根据欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系是V+F﹣E=2，然后把棱数18代入进行讨论即可求解．解答：解：根据欧拉公式有：V+F﹣E=2，∵E=18，∴V+F=2+18=20，①当棱柱是四棱柱时，V=8，F=6，V+F=14，②当棱柱是五棱柱时，V=10，F=7，V+F=17，③当棱柱是六棱柱时，V=12，F=8，V+F=20，∴有18条棱的棱柱是六棱柱，它的底面是六边形．故选C．点评：考查了欧拉公式的应用，需要对棱柱的顶点数与面数的关系有全面的认识并熟记欧拉公式方可进行解答．3．设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（）A．26B．2C．14D．10考点：欧拉公式．1527949专题：计算题．分析：根据长方体的概念和特性进行分析计算即解．解答：解：长方体的顶点数v=8，棱数e=12，面数f=6．故v+e+f=8+12+6=26．故选A．点评：解决本题的关键是明白长方体的构造特征为：长方体有6个面，8个顶点，12条棱．4．一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（）A．10个B．9个C．8个D．7个考点：欧拉公式．1527949分析：一个直棱柱有12个顶点，说明它的上下底面是两个六边形，从而可以确定它的面的个数．解答：解：直棱柱有12个顶点，一定是六棱柱，所以它的面的个数是8个．故选C．点评：n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．5．正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E=2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（）A．6B．8C．12D．20考点：欧拉公式．1527949专题：计算题．分析：根据题意中的公式F+V﹣E=2，将E，V代入即解．解答：解：∵正多面体共有12条棱∴E=6∴F=2﹣V+E=2﹣6+12=8．故选B．点评：解决本题的关键是正确的审题，合理利用题目中给出的公式解答．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．一个棱柱有18条棱，那么它的底面是六边形．考点：欧拉公式．1527949分析：根据欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系是V+F﹣E=2，然后把棱数18代入进行讨论即可求解．解答：解：根据欧拉公式有：V+F﹣E=2，∵E=18，∴V+F=2+18=20，①当棱柱是四棱柱时，V=8，F=6，V+F=14，②当棱柱是五棱柱时，V=10，F=7，V+F=17，③当棱柱是六棱柱时，V=12，F=8，V+F=20，∴有18条棱的棱柱是六棱柱，它的底面是六边形．故答案为：六．点评：本题考查了欧拉公式的应用，需要对棱柱的顶点数与面数的关系有全面的认识并熟记欧拉公式方可进行解答．7．长方体有6个面；有12条棱．考点：欧拉公式．1527949分析：根据长方体属于四棱柱，结合四棱柱的特征进行填空．解答：解：长方体有6个面；有12条棱．故答案为6、12．点评：n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．8．（2011•南海区模拟）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是v+f﹣e=2．考点：欧拉公式．1527949分析：先根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式即可．解答：解：四面体的顶点数为4、面数为4，棱数为6，则4+4﹣6=2；长方体的顶点数为8、面数为6，棱数为12，则8+6﹣12=2；正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则8+6﹣12=2；则关系式为：v+f﹣e=2；故答案为v+f﹣e=2．点评：本题考是一个找规律的题目，查了欧拉公式，由特殊到一般的思想在数学教学中常用到．三、解答题（共3小题）（选答题，不自动判卷）9．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E=2．（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是20．（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．考点：欧拉公式．1527949专题：压轴题；图表型．分析：（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面数；（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．解答：解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E=2；（2）由题意得：F﹣8+F﹣30=2，解得F=20；（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；∴共有24×3÷2=36条棱，那么24+F﹣36=2，解得F=14，∴x+y=14．故答案为：6，6；E=V+F﹣2；20；14．点评：本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．10．（2010•宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体44长方体8612正八面体812正十二面体201230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E=2．（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是20．（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．考点：欧拉公式．1527949专题：压轴题．分析：（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面数；（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．解答：解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E=2；多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230（2）由题意得：F﹣8+F﹣30=2，解得F=20；（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；∴共有24×3÷2=36条棱，那么24+F﹣36=2，解得F=14，∴x+y=14．点评：本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．11．（2009•凉山州）观察下列多面体，并把下表补充完整．观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数a61012棱数b91215面数c58考点：欧拉公式．1527949专题：图表型．分析：三棱柱的顶点数为：3×2=6，棱数为：3×3=9，面数为：2+3=5；四棱柱的顶点数为：4×2=8，棱数为：4×3=12，面数为：2+4=6；五棱柱的顶点数为：5×2=10，棱数为：5×3=15，面数为：2+5=7；六棱柱的顶点数为：6×2=12，棱数为：6×3=18，面数为：2+6=8．∴a+c﹣b=2．解答：解：规律为a+c﹣b=2．名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数a681012棱数b9121518面数c5678点评：可先由简单图形得到解决问题的方法．