第八章-多元函数微分学习题解--理工类-吴赣昌

第8章多元函数微分学§8.1多元函数的基本概念内容概要区域定义邻域nR空间中点0P的邻域为00(){|||}UPPPP平面上点000(,)Pxy的邻域为22000(){(,)|()()}UPxyxxyy点集开集所有点都是内点的点集闭集开集连同边界构成的点集连通集任意两点都可用一条完全在点集中的折线连接的点集区域连通的点集。开区域、闭区域；有界区域、无界区域多元函数定义D为平面上非空点集，如果对D中任一点(,)xy，按某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f为D上的二元函数，记(,)zfxy，(,)xyD，D为定义域。几何意义：(,)zfxy为空间曲面，D为曲面在xoy面上投影。可定义三元及以上函数。二重极限0,0,当2200()()xxyy时，恒有|(,)|fxyA，则称00lim(,)xxyyfxyA。注：其中00(,)(,)xyxy为任意方式。从而若(,)xy以不同方式趋于00(,)xy时，(,)fxy无限靠近不同的常数，则二重极限不存在。多元函数连续若0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则函数(,)zfxy在00(,)xy连续。初等函数在其定义区域内连续。闭区域上连续函数必有最大、最下值；有界；满足介值定理。课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xyfxyxy，求(1,)yfx。解：222222(1,)1()yyxyxfyxxyx★2.已知函数(,,)wuvfuvwuw，试求(,,)fxyxyxy。解：2(,,)()()xyxfxyxyxyxyxy★★3.设()zxyfxy，且当0y时，2zx，求()fx。解：将0y代入原式得：20(0)xxfx，故2()fxxx4.求下列函数的定义域：★（1）2ln(21)zyx解：要使表达式有意义，必须2210yx所求定义域为2{(,)|210}Dxyyx★（2）zxy解：要使表达式有意义，必须0xy，{(,)|}Dxyxy★★（3）22arccoszuxy解：要使表达式有意义，必须2211zxy2222{(,,)|}Dxyzxyzxy★★★（4）2224ln(1)xyzxy解：要使表达式有意义，必须222224010ln(1)0ln1xyxyxy222{(,)|01,4}Dxyxyyx★★（5）22ln()1xzyxxy解：要使表达式有意义，必须220010yxxxy22{(,)|1,0}Dxyxyxy5.求下列极限：★（1）2210ln()limyxyxexy知识点：二重极限。思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。解：2210ln()ln2limln21yxyxexy★★（2）0024limxyxyxy知识点：二重极限。思路：应用有理化方法去根号。解：00lim(24)xyxyxyxy0011lim424xyxy★★★（3）22()lim()xyxyxye解：原式22()2()2limlim()xyxyxyxxyyxyxyxyxyeeee，2lim0,lim0xyxxyyxyee22()22limlimlimlim0uxyxyuuuxuuuyxyuueeee，22()lim()0xyxyxye★★（4）2200limxyxyxy解：方法一：（应用二重极限定义，语言）22222222122xyxyxyxyxy0=2取，当220xy时恒有220xyxy2200lim0xyxyxy方法二：（夹逼定理）22220||||xyxyyxyxy，又00lim||0xyy2200lim0xyxyxy方法三：（极坐标代换）令cos,sinxryr，则当(,)(0,0)xy时，0(02)r220000cossinlimlimlimcossin0xrryxyrrrrxy★★（5）222222300sinlim()xyxyxyxy知识点：二重极限。思路：先作变量替换，然后对未定型00应用洛必达法则及等价无穷小量替换。解：令22xyu，则(,)(0,0)xy时，0u，原式23220001sin1cos12limlimlim336uuuuuuuuuu洛必达。★★★（6）222222001cos()lim()xyxyxyxye解：2222222222222222000000001cos()1cos()1cos()limlimlimlim()()()xyxyxxxxyyyyxyxyxyexyxyxye2220011cos2limlim0xyuuuuuuu6.证明下列极限不存在知识点：二重极限。思路：若(,)xy沿不同曲线趋于00(,)xy时，极限值不同，则二重极限不存在。★★（1）(,)(0,0)limxyxyxy证：取ykx，则(,)(0,0)0(1)1limlim(1)1xyxykxxykxkxykxk，易见极限会随k值的变化而变化，故原式极限不存在。★★★★（2）100lim(1)xyxyxy证：方法一：111000000lim(1)lim(1)lim[(1)]xyxyxyxyxyxyxyxxxyyyxyxyxy现考虑00lim()xyxyxy，若(,)xy沿x轴趋于(0,0)，则上式000lim02xyx，从而1000lim(1)1xyxyxye若(,)xy沿曲线1xyx趋于(0,0)，则00lim()xyxyxy011lim11xxyxxxxxxx，从而100lim(1)xyxyxye故原式极限不存在。方法二：若取11,nnxynn，则211202220011lim(1)lim(1)lim(1)1nnnxyxnnyxyenn若取11,1nnxynn，则(1)1001lim(1)lim1(1)nnxyxnyxyenn故原式极限不存在。★★★（3）0011limxyxyxy解：000011limlim()(11)xxyyxyxyxyxyxy若(,)xy沿x轴趋于(0,0)，则上式000lim02xyx若(,)xy沿曲线1xyx趋于(0,0)，则上式0111lim22()1xxyxxxxxxx故原式极限不存在。注：若(,)xy沿曲线yx趋于(0,0)，则2000()(11)0limlim0xxyyxxyxyxyx从而000011limlim()(11)xxyyxyxyxyxyxy。7.研究下列函数的连续性★（1）222(,)2yxfxyyx解：当220yx时函数无定义，故函数的间断点集为2{(,)|2}xyyx★★★（2）22(,)ln()fxyxyxy解：函数间断点为(0,0)，由22222210|ln()||()ln()|2xyxyxyxy又2222220000021lnulim()ln()limlnlimlim011uxyxuuuyuxyxyuuuu洛必达故由夹逼定理2200limln()0xyxyxy，故(0,0)为可去间断点。★★★8.设22122,0,(,)10,0,xxyexyfxyyexy任意任意，讨论(,)fxy在(0,0)处是否连续？知识点：二元函数连续思路：若0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则函数(,)zfxy在00(,)xy连续。讨论00(,)xy处二重极限的存在性，若(,)xy沿不同曲线趋于00(,)xy时，极限值不同，则二重极限不存在。解：若(,)xy沿x轴趋于(0,0)，则2212002000limlim011xxxyyxyeye若(,)xy沿21xye轴趋于(0,0)，则221212002011limlim1121xxxxyxyeyeye故00lim(,)xyfxy不存在，从而函数(,)fxy在(0,0)处是不连续。§8.2偏导数内容概要偏导数偏导数定义性质0000000(,)(,)limxxxyyfxxyfxyzxx也记为00000000(,)(,),(,),,(,)xxxfxyzxyfxyfxyx同理可定义0000000(,)(,)limyxxyyfxyyfxyzyy00000000(,)(,),(,),,(,)yyyfxyzxyfxyfxyy几何意义：(,)zfxy的偏导数00(,)xfxy表示空间曲线0(,)zfxyyy在点000(,,)xyz处的切线xT关于x轴的斜率偏导函数的求法：（1）多元函数对某自变量求偏导时，只需将其余自变量看为常数，按一元函数求导法则计算导数。（2）多元分段函数在分段点处偏导数要用偏导数定义来求。高阶偏导数若函数(,)zfxy的偏导数(,),xfxy(,)yfxy在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。如果(,)zfxy的二阶混合偏导数22,zzxyyx在区域D内连续，则在D内这两个偏导数相等。课后习题全解习题8-21.求下列函数的偏导数：★（1）32233zxyxyxy；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。解：22336zxyxyyx；32263zxxyxyy★★（2）22xyzxy；解：22xyzxyxyyx，故2211;zyzxxyxxxy★★（3）22xzxy；解：2222232222222()xxyxxyzyxxyxy；2232222222()yxxyzxyyxyxy注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。★★（4）ln()zxy；解：12111(ln())22ln()zxyyxxyxxy；12111(ln())22ln()zxyxyxyyxy★（5）2sin()cos()zxyxy；解：cos()2cos()(sin())[cos()sin(2)]zxyyxyxyyxyxyxycos()2cos()(sin())[cos()sin(2)]zxyxxyxyxyxxyxy★★★（6）(1)yzxy；知识点：二元函数偏导数思路：函数对自变量x（y）求导时将另一自变量y（x）看为常量，按一元函数求导法则求导。在本题中对自变量x求偏导时，函数为x的幂函数；对自变量y求偏导时，函数为y的幂指函数。解：方法一1121(1)(1)(1)(1)yyyxzyxyxyyxyyyxyxln(1)ln(1)ln(1)()()(ln(1))1yxyyxyyxyyyzxeeexyyyxy(1)ln(1)1yxyxyxyxy方法二：（求zy时也可利用下边第5节的隐函数求