考研数学一命题人考点结构图

1考研数学一命题人归纳每章知识结构图第一部分高等数学第一章函数、极限与连续性函数极限与连续性函数函数的概念反函数、复和函数常见的几种函数形式（初等函数、分段函数、隐函数、由参数确定的函数、由变限积分确定的函数，由级数确定的函数）函数的四种特性：单调性、奇偶性、周期性、有界性连续性与间断点的定义连续函数的性质判断连续性与判别间断点类型的方法定义与性质判别极限存在与否的方法未定式“00”型或“∞∞”洛必达法则、变量替换与重要极限、泰勒公式、等阶无穷小因子替换未他未定式（转化为“00”，或“∞∞”）直接运用法则分别求左右极限（四则运算、幂指数运算、代入法）函数极限数列极限递归数列1(())nnxfx+=n项和的数列（恒等变形、夹逼法、化为定积分、级数求和）n项积的数列（恒等变形，转化为n项和）一般情形（转化为函数极限、恒等变形、夹逼法）求极限的方法连续性极限2第二章导数与微分奇偶性与周期函数的导数性质隐函数与反函数求导法分阶函数求导法含参数方程所确定的函数的求导对数求导法及幂指数求导法高阶导数基本求导法则高阶导数的定义极大值、极小值几种微分中值定理（费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公定、柯西定理）简单应用平面曲线的切线与法线平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径某些物理量的描述微分中值定理与导数的应用导数的计算与高阶导数导数与微分的定义相互关系几何意义与物理意义基本导数表导数与微分的四则运算法则复合函数的求导法则基本求导法则（一阶微分形式不变法）可微⇔可导连续⇐⇒导数与微分3第三章不定积分定义几何意义与物理意义原函数存在性基本概念不定积分的基本性质基本积分公式常用的凑微分常用的变量替换换元积分法（第一、第二换元积分法）分部积分法积分法则有理函数的积分分部积分法按函数类的积分无理式的积分（待定系数法）基本积分法及各类函数的积分方法不定积分的概念与性质不定积分4第四章定积分的计算及应用定义几何意义与物理意义函数的可积性定积分的基本概念反常积分基本公式无穷积分与瑕积分华顿—莱布尼茨公式变限积分所定义的函数的连续性，可导性及可导公式分项积分法换元积分法分段函数的积分积分的计算反常积分分段积分法常用的凑微分常用的变量代换积分法则+极限运算法则若干基本的反常积分的敛散性几何应用平面图形的面积、平面图形的形心平面曲线的弧长、旋转体的侧面积、立体的体积物理应用变力做功引力压力质心、函数的平均值定积分的应用定积分的计算定积分5第五章向量代数和空间解析几何定义运算规律特征性质向量的各种运算（加减法、数乘向量、数量积、向量积和混合向量积）应用运算性质向量的坐标、长度、方向的确定向量的基本概念及其表示法向量代数如何求平面与直线方程点到直线、平面的距离公式判断平面、直线间的位置关系平面与直线曲线与曲面的概念及表示法二次曲面的标准方程及图形柱面与旋转面的求法曲面与曲线空间曲线在坐标平面上投影的方程空间解析几何向量代数与空间解析几何6第六章多元函数的微分与应用二元函数的极限、连续性的定义有界闭区间连续函数的性质二元函数的几何意义多元函数及其极限与连续性偏导数、全微分方向导数与梯度的定义计算偏导数与全微分求初等函数的偏导数与全微分微分法则隐函数求导公式方向导数与梯度由一元函数二阶泰勒公式得二元函数二阶泰勒公式多元复合函数求导法则基本概念之间的联系两个偏导数连续⇐⇒可微连续⇐⇒函数存在偏导数二元函数的极值与二元函数泰勒公式几何应用昀值问题偏导数的应用二元函数极值判别法曲面的切平面与法线空间曲线的切线与法平面简单极值问题的解法条件极值问题的解法多元函数的微分与应用⇓⇑7第七章多元函数积分学二重积分的极坐标变换面积微元drdrdσθ=三重积分柱坐标变换，体积微元dVrdrddzθ=重积分变量替换三重积分球坐标变换、体积微元2sinddddVρϕρϕθ=应用几何应用物理应用平面图形面积、体积质量、质心、转动惯量在直角坐标系中化多元函数为定积分二重积分化为二定次积分公式三重积分化为一次定积分与一次二重积分计算公式基本概念、性质重积分基本概念、性质对弧长曲线积分、对坐标曲线积分、对面积曲面积分、对坐标曲面积分两类线积分的关系、两类面积分的关系计算公式一、二类曲线积分化为定积分公式一类曲面积分化为二重积分公式二类曲面积分化为一类曲面积分再化为二重积分公式曲线积分与路径无关的条件应用几何应用物理应用曲面面积、弧长流量、引力、功多元函数积分学三个基本公式格林公式高斯公式斯托克斯公式公式的应用公式的表述与理解物理意义散度与旋度平面区域的面积、空调区域的体积的线面积分表示各类积分之间的相互转化以简化计算曲线积分、曲面积分及场论初步多元函数积分学8第八章无穷级数幂级数收敛性的特点求幂级数收敛域的方法幂级数和函数的性质幂级数幂级数求和与求函数幂级数展开式直接法（幂级数展开的充分条件与充要条件）间接法（几个简单函数幂级数展开式，求导法，交量替换分解法）傅里叶级数求定义在[-l,l]上函数的傅里叶级数求定义在[0,l]上函数的正弦，余弦级数已知函数表达式，求它的傅里叶级数和函数表达式定义性质敛散性的判别方法常数项级数求和法按定义由收敛的必要条件按定义转化幂级数求和利用收敛性判别法正项级数变号级数收敛条件、比较判别法（比较原理及其极限形式、根值比值判别法、确定级数通项关于1n的阶，P除数与几何级数）交错级数，莱布尼茨法则，一般情形绝对收敛条件收敛无穷级数9第九章常微分方程基本概念基本类型可化为基本类型一阶微分方程用某些简单的变量代换求解某些微分方程变量可分离方程一阶线性方程伯努力方程齐次方程性质解的叠加原理通解的结构全微分方程可降阶的高阶微分方程基本概念可降阶的类型二阶，高阶微分方程高阶线性微分方程基本概念二阶微分方程（含某些高阶情形）可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程）二阶线性常系数方程特殊的二阶线性变系数方程齐次非齐次欧拉方程微分方程应用几何应用物理应用利用定积分的几何意义、利用导数的几何意义、利用变化率满足的规律利用牛顿第二定律，质点运动的轨迹，微元分析法常微分方程10第二部分线性代数第一章行列式行列式与转置行列式相等互换两行（列），行列式变号行列式有两行成比列，行列式为零性质若行列式某行（列）都是两数之和，则此行列式是两行列式之和定义定理、公式排列与逆序行列式一行同乘数k，可将k提到行列式外展开式三角（上三角，下三角）行列式计算转置与原行列式相等代数余子式展开公式n阶行列式行列式11第二章矩阵定义性质初等矩阵求逆方法分块矩阵伴随矩阵定义法初等变换法分块矩阵法定义运算法则逆矩阵矩阵的秩定义有关秩的公式，定理单位矩阵对称矩阵列矩阵特殊矩阵反对称矩阵行矩阵正交矩阵伴随矩阵对角矩阵概念m×n个数排成n行n列的表格运算A+B，kA，AB，AT矩阵的概念及运算矩阵12第三章向量求法概念极大线性无关组矩阵的秩向量组的秩基概念n维向量空间坐标过渡矩阵规范正交基Schmidt正交化向量组与矩阵的秩所形成行列式为0某个向量αi可由其余向量表出充要条件齐次方程组（α1，α2，…αs）x=0有解n+1个n维向量多数向量可由少数向量表出充分条件判别概念线性相关运算加法，数乘，内积定义任意向量αi不能由其余向量表出r（α1，α2，…αs）=S充要条件齐次方程组（α1，α2，…αs）x=0有解阶梯形向量组充分条件判别概念线性无关向量组的线性相关与线性无关向量13第四章线性方程组线性方程组线性方程组概念克莱姆法则初等行变换线性方程组解的结构与判定解的结构()Anr列向量组线性相关解的判定齐次线性方程组有非零解非齐次线性方程组关系Axb=有解()()rArA⇔=Axb=有惟一解Ax⇒=0只有零解Axb=有无穷的解⇔Ax=0有非零解自由变量特解、通解解的性质若η是齐次线性方程组Ax=0的解，则kη也是它的解若12ηη是齐次线性方程组Ax=0的解，12ηη也是它的解14第五章矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量定义性质求法不同特征值的特征向量线性无关k重特征值至少有k个线性无关的特征向量特征值实对称矩阵定义法特征多项式0EAλ−=111,nnniiiiiiiaAλλ=====∑∑∏基础解系法0EAλ−=定义法特性特征向量与对角矩阵相似可用正交矩阵对角化相似矩阵与矩阵可对角化定义PAP=B性质(必要条件)EAEBλλ−=−11nniiiiiiab===∑∑()()rArB=AB=可对角化充要条件充分条件A有n个线性无关的特征向量A是实对称矩阵A有n个不同的特征值A是实对称矩阵()iirEAnnλ−=−15第六章二次型合同定义充要条件充分条件TCAcB=，C可逆TxAx与TxBx有相同的正、负惯性指数AB∼二次型及其矩阵表示TxAx二次型的秩惯性定理正、负惯性指数化标准形配方法正交变换法特征值相似规范形标准形二次型和它的标准形定义判定条件性质TxAx＞0（0x≠）正惯性指数pn=TCAcE=，C可逆特征值都大于0存在可逆矩阵C，TACC=顺序主子式全大于0可逆1,,,,TmyAAAAkA−都是正定矩阵若B也为n阶正定矩阵，A+B为正定矩阵正定二次型与正定矩阵二次型～16第三部分概率论与数理统计第一章随机事件和概率随机事件随机事件的概念基本事件，样本空间，必然事件，不可能事件独立定义概率性质定义公式随机事件和概率非负，有界，单调不减有限可加加法公式，减法公式，求逆公式概念性质相互独立必必两两独立若干个对立事件仍相互独立不含相同事件的事件组相互独立两两独立，相互独立包含，相等，互不相容，对立，完备事件组关系运算加（并），交（积），减，逆交换，结合，分配，对偶，吸收，分解形式法则条件概率概型公理化定义，统计定义，古典定义，几何定义乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式等可等概型n重伯努利概型古典概型几何概型17第二章随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布定义分类随机变量基本型混合型基本型的线性回合离散型，连续型等分布函数概率分布离散型的概率分布连续型函数的分布常见分布定义充要条件与性质定义充要条件与性质定义充要条件与性质定义求法定义法（分布函数法）、公式法离散型0-1分布，二项分布，几何分布，超几何分布，泊松分布连续型均匀分布、指数分布、正态分布18第三章多维随机变量及其概率分布多维随机变量基本概念主要类型相互独立性多维，二维随机变量定义充要条件离散型连续型性质离散型连续型概率分布常见分布分布函数连续分布离散分布两个随机变量函数分布二维均匀分布，二维正态分布边缘分布函数联合分布函数定义充要条件与性质边缘密度条件密度边缘密度条件密度求法和分布积分布，max(X,Y)分布，min(X,Y)分布分布函数公式法多维随机变量及概率分布19第四章随机变量的数字特征常用数学特征随机变量的数字特征数学期望方差，标准差相关系数协方差矩中心矩，原点矩计算方法定义法性质法由随机变量的分布直接定义公式计算常用线性化简后再计算20第五章大数定律和中心极限定理大数定律大数定律和中心极限定理切比雪夫大数定律伯努力大数定律辛钦大数定律依概率收敛（P-收敛）性质定义切比雪夫不等中心极限定理列维棣莫弗拉普拉斯中心极限定理林德伯格定理21第六章数理统计的基本概念数理统计的基本概念总体样本随机变量X,Y…容量为n的简单随机样本统计量定义两重样n个相互独立且与总体同分布的随机变量样本样本值常用统计量抽样分布正态总体下常用统计量概率密度样本均值样本方差样本均方差样本k阶原点矩样本k阶中心矩2χ分布、性质、分位数t分布、性质、分位数F分布的性质、分位数22第七章参数估计基本概念定义方法点估计单个正态总体总体参数的置信区间两个正态总体期望H的置信区间（2σ已知，未知）方差2σ的置信区间（H已知，未知）区间估计参数估计估计量的优劣性矩估计极大似然估计定义，求法，性质定义，性质，求法无偏性有效性（昀小方差性）相合性（一致性）基本步骤关键是构造含样本不未知参数的随机变量期望差12HH−的置信区间方差比212ξσ的置信区间23第八章假设检验基本概念原假设与备择假设，检验统计量两类错误假设的基本思想与原理假设检验的步骤单个正态总体参数