考研数学一真题解析-2013

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中k，c为常数，且0c，则（）A.12,2kcB.12,2kcC.13,3kcD.13,3kc【考点分析】：无穷小的比较，同阶无穷小，洛必达法则的应用。【求解过程】：D0arctanlimkxxxx210111limkxxkx（洛必达法则）=22101limkxxxkx23011limkxxkx301limkxkx由于c为常数，则k-3=0，即k=3，因此13c。【方法总结】：此类题目为典型的基础题，历年真题中出现若干次，也是一种经典的练习题目，此类题目解题方法比较固定，无非就是，洛必达法则，等价无穷小代换和泰勒公式的使用，读者对这类题目只要打好基础，多多练习即可；若此类问题解决不好，一定要充分的复习基础，考研数学基础第一。2.曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1,1)处的切平面方程为（）A.2xyzB.0xyzC.23xyzD.0xyz【考点分析】：切平面方程求法。【求解过程】：A一个曲面在某个点的切平面方程，核心就是该点处的法向量。法向量为（Fx，Fy，Fz）Fx=2sin()1xyxy=1Fy=sin()xxyz=1Fz=1y求得法向量为（1，-1，1），因此2xyz。【方法总结】：同样是考查基础的题目，详情见高数（同济版下册）98页，关于切平面和切线的求法要熟练，教材中例题和本题十分相似，不再赘述。3.设1()2fxx，102()sin(1,2,)nbfxnxdxn，令1()sinnnSxbnx，则9()4S（）A.34B.14C.14D.34【考点分析】：傅里叶级数，收敛定理。【求解过程】：C注意观察本题目，和函数()Sx形式为正弦级数，因此()fx是奇函数，同时观察nb的形式，得知周期为2，9()4S1()4S1()4S，14为连续点，因此1()4S1()4f14【方法总结】：傅里叶级数的题目类型比较单一，多数是考查和函数的求法和收敛定理的使用，收敛定理内容见高数（同济版下册）306页，和函数求法见316页。4.设221:1Lxy，222:2Lxy，223:22Lxy，224:22Lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi，则1234max,,,IIIIA.1IB.2IC.3ID4I【考点分析】：格林公式。【求解过程】：D33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi22(21)(1,2,3,4)2Diyxi（格林公式）22(1)(1,2,3,4)2Diyxi，其中iD表示iL所围成的部分。如下图，红色部分（4D）内部被积函数均为正值可以发现被积函数在4D内均为正值，且4D面积大于1D，因此41II。同时2D的面积大于4D，并且包括4D所有部分，而除去4D的其他部分被积函数均为负值，因此42II。并且1D的面积小于3D，而3D包括1D所有部分，而除去1D其他部分被积函数均为负值，因此13II。综上，最大为4I。【方法总结】：本题考察格林公式的使用，转化为二重积分后亦可直接算出四个积分的值然后比较，但明显增加了计算量。关于格林公式的定义见高数（同济版下册）202页。5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【考点分析】：向量组等价定义。【求解过程】：B两个向量组等价，那说明他们列向量可以互相表示。设A，C的列向量组为,iiac（1,...in）。11(,...,)(,...,)nnAbbcc,对于每一个向量ic，iicAb，C中各个列向量均可由A中列向量表示；由于B可逆，1ACB，同理。两个向量组的任何一个列向量向量都可以由对方列向量线性表示。【方法总结】：本题考察列向量组等价的定义。6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（）A.0,2abB.0,ab为任意常数C.2,0abD.2,ab为任意常数【考点分析】：相似矩阵。【求解过程】：B两个矩阵相似，他们拥有相同的特征值，分别为2，b，0.设A=1111aabaa,则EA=111111aabaabaabaaa20002221112abaababaaa很明显只要满足a=0即可使A的特征值满足上述条件。【方法总结】：本题考察列相似矩阵的定义。7.设123,,XXX是随机变量，且1(0,1)XN，22(0,2)XN，23(5,3)XN，22(1,2,3)iiPPXi，则（）A.123PPPB.213PPPC.322PPPD132PPP【考点分析】：标准正态分布性质。【求解过程】：A全部转化到标准正态分布上。112233(22)(2)(2)2(2)10(11)2(1)125771(1)333PPXXPPXPP　　　　　通过观察标准正态分布图像可知，123PPP。【方法总结】：本题考察标准正态分布的定义和性质。8.设随机变量()Xtn,(1,)YFn，给定(00.5)aa，常数c满足PXc，则2PYc()A.B.1C.2D.12【考点分析】：数理统计三大分布。【求解过程】：C()Xtn，(1,)YFn，设212(0,1),()ZNZn,因此221(1)Z。1122/1,//ZZXYZnZn，因此，可以得知2222PYcPXcPXcPXc【方法总结】：牢记三大分布的形式和性质是解决本题的关键。二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则1lim[()1]nnfn＝。【考点分析】：隐函数求导，极限。【求解过程】：1''001[()1]lim[()1]limlim()(0)nmmfmnffmfnm(设m为n的倒数)方程左右两边对x求导，得：)1(e1-yy)-x(1yxy＝，当x=0时，带入得y=1,将他们一并带入上式，得y(0)=1，因此极限的值为1.【方法总结】：1lim[()1]nnfn为0*型的极限，此类极限求法为先将其化作00型或者型，然后使用洛必达法则，等价无穷小代换或者泰勒公式求得。10.已知y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，y3=–xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。【考点分析】：二阶常系数微分方程求解。【求解过程】：3212xxxycecexe容易得知y3=–xe2x是该方程的一个特解，而13,23yyyy为该方程对应的齐次方程的两个线性无关的特解，根据二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构得知，该方程通解为：3212xxxycecexe。【方法总结】：二阶常系数微分方程求解方法重在记忆，其出题形式不多变，多多练习熟悉即可。关于其求法详解见高数（同济版上册）325，332页11.设224sin()sincostxtdytytttdx为参数，则。【考点分析】：参数方程求导。【求解过程】：2先求一阶导数，sincossincosdydyttttdttdxdxtdt，22()()secdydydddydtdxdxtdxdxdtdx，带入t的值，原式=2。【方法总结】：对于参数方程求导和反函数求导的题目，需要掌握求导的过程，特别对于其中二阶倒数甚至更高阶导数的求法，更需认真对待。12.21ln(1)xdxx。【考点分析】：反常积分，分部积分法。【求解过程】：ln2211111ln1ln(1)1ln1(1)lnlim()0(lnln(1))1000(ln2)ln2xxdxxdxxxdxxxxxdxxx【方法总结】：分部积分法的应用是本题的关键，对于常见函数的微分积分公式的记忆也是不可或缺的。13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝。【考点分析】：伴随矩阵。【求解过程】：-1从题目条件0ijijaA得知ijijAa，根据A和它的伴随矩阵之间的关系得知*TAA（1）再根据公式*||TAAAEAA，两边取行列式23||||AA解得：||0A或||-1A而对于A对应的行列式如果为0，由（1）得知与非零阵的条件矛盾。因此||-1A。【方法总结】：*||AAAE，该公式的使用极为广泛，需要熟练掌握。14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=【考点分析】：贝叶斯公式，指数分布公式。【求解过程】：11e。(1)11(1)()1()aaaPYaYaPaYaPYaFaFaFaeeee11【方法总结】：对于几个常见的分布函数的形式要牢记并熟练掌握。三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)（15）（本题满分10分）计算dxxxf)(10，其中f(x)＝.)1ln(1dtttx【考点分析】：换元积分法，分部积分法，积分上限函数求导。【求解过程】：824ln2。被积函数带有积分号，要先想办法去掉积分号，先使用分部积分。原式101100101010101100102()2()|2()......(2(1)2()ln(1)02.......()ln(1)24ln(1)......()4ln(1)4[ln(1)]|44ln21fxdxfxxxdfxfxdfxxxdxxxdxxxdxxdxxxxdxx分部积分）积分上限函数求导分部积分通过计算后只需求得1041xdxx的值即可。101222021201201041=4()124118(1)188arctan|82xdxxtdtxtttdttdttt综上所述，原式值为824ln2。【方法总结】：换元积分法和分部积分法要熟练掌握，在准确记忆的基础上多多练习计算积分，就可以熟能生巧，积分上下限函数求导方法要熟练掌握，其具体方法见高数(同济版上册)237页。(16)(本题10分)设数列｛an｝满足条件：0123,1(1)0(2).nnaaannan＝，＝S（x）是幂级数0.nnnax的和函数（1）证明：()()0;SxSx（2）求().Sx的表达式【考点分析】：微分方程，幂级数。【求解过程】：（1）证明：0()nnnSxax求导得：'1110()(1)nnnnnnSxnaxnax求二阶导数：11210()(1)(2)(1)nnnnnnSxnnaxnnax根据题目已知条件：2(1)0nnanna