您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 1.1.1(二)正弦定理(二)
1.1.1(二)1.1.1正弦定理(二)【学习目标】1.熟记正弦定理的有关变形公式.2.探究三角形面积公式的表现形式,能结合正弦定理解与面积有关的斜三角形问题.3.能根据条件,判断三角形解的个数.【学法指导】1.已知两边及其中一边对角解三角形,其解不一定唯一,应注意运用大边对大角的理论判断解的情况.2.判断三角形形状时,不要在等式两边轻易地除以含有边角的因式,造成漏解.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)1.正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R的常见变形:(1)sinA∶sinB∶sinC=;(2)asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=;(3)a=,b=,c=;(4)sinA=,sinB=,sinC=.2.三角形面积公式:S===.填一填·知识要点、记下疑难点a∶b∶c2R2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2R12absinC12bcsinA12acsinB本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)3.在△ABC中,若sinAsinB,则角A与角B的大小关系为()A.ABB.ABC.A≥BD.A,B的大小关系不能确定填一填·知识要点、记下疑难点解析由sinAsinB⇔2RsinA2RsinB⇔ab⇔AB.A本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)4.在△ABC中,a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积S=.填一填·知识要点、记下疑难点解析S=12absinC=12×10×8×sin30°=20.20本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)探究点一已知两边及其中一边的对角,判断三角形解的个数问题我们应用正弦定理解三角形时,已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解,有时一解,有时两解,有时又无解,这究竟是怎么回事?研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)探究1在△ABC中,已知a,b和A,若A为直角,讨论三角形解的情况.(请完成下表)关系式a≤ba>b图形解的个数解解研一研·问题探究、课堂更高效无一本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)探究2在△ABC中,已知a,b和A,若A为钝角,讨论三角形解的情况.(请完成下表)关系式a≤ba>b图形解的个数解解研一研·问题探究、课堂更高效无一本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)探究3在△ABC中,已知a,b和A,若A为锐角,讨论三角形解的情况.(请完成下表)关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥b图形解的个数解解解解研一研·问题探究、课堂更高效无一两一本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)探究点二三角形的面积公式问题我们已经知道S△ABC=12aha=12bhb=12chc(其中ha,hb,hc分别为a,b,c边上的高).学习了正弦定理后,你还能得到哪些计算三角形面积的公式?研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)证明作AD⊥BC,垂足为D,研一研·问题探究、课堂更高效探究1当△ABC为锐角三角形时,证明:S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.则AD=AB·sinB,又AD=AC·sinC,∴csinB=bsinC.∴S△ABC=12BC·AD=12acsinB=12absinC.同理S△ABC=12absinC=12bcsinA.∴S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.D本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)探究2当△ABC为钝角三角形时,证明:S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.研一研·问题探究、课堂更高效证明不妨设B为钝角,如图所示,过A作CB边上的高线AD,则AD=AB·sin∠ABD=AB·sin(180°-B)=ABsinB=csinB.又AD=AC·sinC=bsinC,∴csinB=bsinC,∴S△ABC=12BC·AD=12acsinB=12absinC.同理S△ABC=12bcsinA=12acsinB.所以S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.D本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)【典型例题】例1已知一三角形中a=23,b=6,A=30°,判断三角形是否有解,若有解,解该三角形.研一研·问题探究、课堂更高效解a=23,b=6,ab,A=30°90°.又因为bsinA=6sin30°=3,absinA,所以本题有两解,由正弦定理得,sinB=bsinAa=6sin30°23=32,故B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,c=a2+b2=43;当B=120°时,C=30°,c=a=23.所以B=60°,C=90°,c=43或B=120°,C=30°,c=23.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效小结已知三角形两边和其中一边的对角,解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,根据该正弦值求角时,需对角的情况加以讨论.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A=60°,a=3,b=1,则c等于()A.1B.2C.3-1D.3解析由正弦定理asinA=bsinB,可得3sin60°=1sinB,∴sinB=12,故∠B=30°或150°.由ab,得∠A∠B,∴∠B=30°,故∠C=90°,由勾股定理得c=2.B本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效例2在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面积.解如图,由正弦定理,得7sin120°=5sinC,∴sinC=5314,且∠C为锐角(∠A=120°).∴cosC=1114.∴sinB=sin(180°-120°-∠C)=sin(60°-∠C)=32cosC-12sinC=32×1114-12×5314=3314.∴S△ABC=12AB·BC·sinB=12×5×7×3314=1534.小结题目条件或结论中若涉及三角形的面积,要根据题意灵活选用三角形的面积公式.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,则b=.解析∵cosC=13,∴sinC=223,∴12absinC=43,∴b=23.23本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效例3在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R,则a2tanB=b2tanA⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA⇔sinAcosA=sinBcosB⇔sin2A=sin2B⇔2A=2B或2A+2B=π⇔A=B或A+B=π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.小结条件是边角混合关系式,应用正弦定理化边为角,再由角的关系判断三角形的形状.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和,且a、b为△ABC的两边,A、B为两内角,试判断这个三角形的形状.解设方程的两根为x1、x2,由根与系数的关系得x1+x2=bcosA,x1x2=acosB,∴bcosA=acosB.由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0.∵A、B为△ABC的内角,∴0Aπ,0Bπ,-πA-Bπ.∴A-B=0,即A=B.故△ABC为等腰三角形.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)1.已知△ABC的面积为3且b=2,c=2,则∠A等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°解析S=12bcsinA=12×2×2×sinA=3,∴sinA=32,∴A=60°或120°.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)2.在△ABC中,AC=6,BC=2,B=60°,则C=.练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由正弦定理得2sinA=6sin60°,∴sinA=22.∵BC=2AC=6,∴A为锐角.∴A=45°.∴C=75°.75°本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)3.在△ABC中,b=1,c=3,C=2π3,则a=.练一练·当堂检测、目标达成落实处解析由正弦定理,得3sin2π3=1sinB,∴sinB=12.∵C为钝角,∴B必为锐角,∴B=π6,∴A=π6.∴a=b=1.1本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)4.不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=9,b=10,A=60°;(3)c=50,b=72,C=135°.练一练·当堂检测、目标达成落实处解(1)sinB=basin120°=45×3232,所以三角形有一解.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)(2)sinB=basin60°=109×32=539,练一练·当堂检测、目标达成落实处而325391,所以当B为锐角时,满足sinB=539的角有60°B90°,故对应的钝角B有90°B120°,也满足A+B180°,故三角形有两解.(3)sinB=bsinCc=7250sinCsinC=22,所以B45°,所以B+C180°,故三角形无解.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.1.1(二)1.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时三角形解的情况比较复杂,可能无解,也可能一解或两解.例如:已知a、b和A,用正弦定理求B时的各种情况.absinAa=bsinAbsinAaba≥bA为锐角无解一解(直角)两解(一锐角,一钝角)一解(锐角)a≤babA为直角或钝角无解一解(锐角)2.判断三角形的形状,最终目的是判断三角形是否是特殊三角形,当所给条件含有边和角时,应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练
本文标题:2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第一章 1.1.1(二)正弦定理(二)
链接地址:https://www.777doc.com/doc-6498419 .html