导数 的 应用(习题课)

导数的应用习题课一、知识点1．导数应用的知识网络结构图：(1)已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在[-2,2]上有最大值3，函数在[-2,2]上的最小值_____-37(2)函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_____-3(3)已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，则k=____1二、例题选讲例1:讨论函数的单调性.|1|)(xxxf例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.例2:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2)且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.解:(1),23)(2bxaxxf由题意得:.3132323)1(2)1(bababaff(2),解得x0或x-2.0)2(363)(2xxxxxf故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞).).,0[]1,[]2,(]1,[mmmm或即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为6,极小值为2.(1)试确定常数a、b的值;(2)求函数的单调递增区间.答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都取得极值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围.答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)maxc2,解得c-1或c2.xy例4:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0x2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2)..16246)(2xxxS令,得.3322,33220)(21xxxS),2,0(1x所以当时,.9332)(3322maxxSx因此当点B为时,矩形的最大面积是)0,2322(.9332例5:如图宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,问另一走廊的宽度至少是多少?aABC8a解:设细杆与另一走廊一边夹角为又设另一走廊的宽为y.),20(θy.cos8,cosaaBCaAB).20(cossin8sin)(aaBCy.coscos8coscossincos8)(2222aaaaay令.321cos81cos03y由于y(θ)只有一个极小值,所以它是最小值,这时.33ay故另一走廊的宽度至少是.33a2.用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.