2008.12.29第45讲用空间向量解决线面位置关系

求平面法向量举例练习一知识点拨知识小结与练习巩固作业:《全品》P第45讲用空间向量解决线面位置关系练习二向量的应用介绍用向量表示平面用向量表示点与直线第45讲用空间向量解决线面位置关系平面向量空间向量推广到立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)向量渐渐成为重要工具在空间中，我们取一定点O作为基点，用向量表示点、直线、平面在空间中的位置:基点OP⑴点⑵直线aABP空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向a确定.那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.对于直线l上的任一点P,存在实数t使得APtAB此方程称为直线的向量参数方程(1)或OPOAtaOPtOAtOB注：根据以上知识，可以利用直线的方向向量与平面的法向量来分析空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.⑶平面POban空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得OPxayb除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.几点说明：1.法向量一定是非零向量;2.同一个平面的法向量共线;3.向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0nm.//lau；设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则//lma∥b;线面平行u∥v;注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行面面平行线线垂直线面垂直.uvlmab；//lau；面面垂直方法总结怎样求经过不共线三点的平面的一个法向量坐标?例：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.求平面的法向量的步骤：⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.1答案2答案3答案练习一：1.已知两点123213AB(，，),（，，）,求直线AB与坐标平面yOz的交点.2.已知两点123212112ABP（，，）,（，，）,（，，）,点Q在OP上运动,求当ABQQ取得最小值时,点Q的坐标.3.在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的一个法向量.练习一1.已知两点123213AB(，，),（，，）,求直线AB与坐标平面yOz的交点.11111()01(1,2,3)(2,1,3)0(1233659由（）得(,,)（）（,,），，）（0，，）OCtOAtOBtRyzttyztttOC解:设直线AB与yOz平面的交点为12(0,,)Cyy∴直线AB与yOz平面的交点为(0,5,9)解:设()OOPQ练习一2.已知两点123212112ABP（，，）,（，，）,（，，）,点Q在直线OP上运动(点O为原点),求当ABQQ取得最小值时,点Q的坐标.∴616QAQB,∴当时,ABQQ取得最小值,此时448(,,)333Q练习3.在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系Dxyz则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)DAC,11(1,1,1),(0,0,1)BD∴1(1,1,1)DB,(1,1,0)AC,1(1,0,1)AD∴10DBAC，∴1DBAC,同理11DBAD又因为1ADACA∴1DB平面ACD,从而1DB是平面1ACD的一个法向量.1答案3答案练习二:1.已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC求平面ABC的单位法向量.2.若两个平面,的法向量分别是(1,0,1),(1,1,0)uv,则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.122(333，，）或122(333，，）.3.如图,PA平面ABC,ACBC,1PAAC,2BC,求二面角APBC──的余弦值.60zxy13解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∴(,,)(2,2,1)0(,,)(4,5,3)0xyzxyz即2204530xyzxyz∴22yxzx①∵2221xyz②∴由①②得13x∴平面ABC的单位法向量为122(333，，）或122(333，，）.练习二:1.已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC求平面ABC的单位法向量.3答案3.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxy分析:若用几何法本题不太好处理,注意到适当建立空间直角坐标系后各点坐标容易处理,可考虑尝试用向量法处理,从而把问题转化为向量运算问题.解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),AP=(0,0,1),(2,1,0),AB(2,0,0),CB(0,1,1)CP,设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),3.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxyAP=(0,0,1),(2,1,0),AB(2,0,0),CB(0,1,1)CP,∴(,,)(0,0,1)0(,,)(2,1,0)0xyzxyz∴20yxz,令x=1,则m=(1,2,0),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则00mAPmAB设平面PBC的法向量为(,,)nxyz,(,,)(2,0,0)0(,,)(0,1,1)0xyzxyz∴0xyz令1,y(0,1,1)n∴cos3,||||3mnmnmn,∵二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为33则00nCBnCP附：当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（回到图形）