数列专题复习

2019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题1/44第五章数列知识网络图☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆2019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题2/44第一节数列的概念与简单表示法考纲要求真题举例命题角度1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数。1.以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是Sn与an的关系，对以后研究数列的通项有很重要的作用。2015，全国卷Ⅰ，17,12分(递推通项、求和)2014，全国卷Ⅰ，17,12分(递推、通项、等差)2014，全国卷Ⅱ，17,12分(递推、等比、求和)2016，浙江卷，13,6分(an与Sn的关系)微知识小题练自|主|排|查1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法。2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。(2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2。微点提醒1．数列是按一定顺序排列的一列数，数列{an}为a1，a2，a3，…，an。而集合{a1，a2，a3，…，an}的元素没有顺序。2．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号。求数列2019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题3/44的通项公式就是找出数列的项an与项数n的函数关系式。根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一。3．数列不仅有递增数列、递减数列，还有常数列、摆动数列。4．已知Sn求an，要对n＝1和n≥2两种情况进行讨论。小|题|快|练一、走进教材1．(必修5P31例3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋－1nan－1(n≥2)，则a5＝()A.32B.53C.85D.23【解析】由已知得，a2＝1＋1a1＝1＋11＝2，a3＝1－1a2＝1－12＝12，a4＝1＋1a3＝1＋112＝3，a5＝1－1a4＝1－13＝23。故选D。【答案】D2．(必修5P33A组T5改编)观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交所得的交点最多有________个。【解析】依题意，设{an}为n条直线相交最多的交点个数，则a2＝1，an＝an－1＋(n－1)，n≥3，而an－an－1＝n－1，由累加法求得an＝1＋2＋…＋(n－1)＝nn－12，所以a10＝10×92＝45。【答案】452019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题4/44二、双基查验1．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)【答案】C2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64【解析】∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1。当n＝1时符合上式，∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15。故选A。【答案】A3．(2016·赤峰模拟)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1，n∈N*，则a2015等于()A．0B．－3C.3D.32【解析】根据题意，由于数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1，那么可知a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…故可知数列的周期为3，那么可知a2015＝a2＝－3。故选B。【答案】B4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________。【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2。【答案】2，n＝1，2n－1，n≥25．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝________。【解析】因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋12019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题5/44＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1。【答案】2·3n－1－1微考点大课堂考点一由数列的前几项求数列的通项公式【典例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式。(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…。【解析】(1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)。(2)数列变为891－110，891－1102，891－1103，…，故an＝891－110n。(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3。因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故an＝(－1)n2n－32n。【答案】(1)an＝(－1)n(6n－5)(2)an＝891－110n(3)an＝(－1)n2n－32n反思归纳求数列的通项公式应关注的四个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想。【变式训练】(1)(2016·长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A．an＝(－1)n－1＋1B．an＝2，n为奇数0，n为偶数C．an＝2sinnπ2D．an＝cos(n－1)π＋12019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题6/44(2)(2017·沈阳模拟)已知数列32，54，76，9a－b，a＋b10，…，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A．(19,3)B．(19，－3)C.192，32D.192，－32【解析】(1)对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sinnπ2不合题意，故选C。(2)由前三项可知，该数列的通项公式可能为an＝2n＋12n，所以a－b＝8，a＋b＝11，即a＝192，b＝32。故选C。【答案】(1)C(2)C考点二由an与Sn的关系求通项公式【典例2】(1)(2016·益阳调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn＋1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式是an＝________。(2)(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn。若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝________。【解析】(1)当n≥2时，由an＋1＝Sn＋1，an＝Sn－1＋1，得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，又因为当n＝1时，a2＝1＋1＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝2n－1。(2)由于a1＋a2＝4a2＝2a1＋1，解得a1＝1。由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋12＝3Sn＋12，所以Sn＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋12＝32×3n－1，即Sn＝3n－12，所以S5＝121。【答案】(1)2n－1(2)1121反思归纳Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化。①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解。2019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题7/44【变式训练】(2016·丹东模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B.32n－1C.23n－1D.12n－1【解析】解法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an，所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即an＋1an＝32(n≥2)，又a2＝12，所以an＝12×32n－2(n≥2)。当n＝1时，a1＝1≠12×32－1＝13，所以an＝1，n＝1，12×32n－2，n≥2，所以Sn＝2an＋1＝2×12×32n－1＝32n－1。故选B。解法二：由Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)得Sn＋1＝32Sn，又S1＝a1＝1，∴Sn＝S132n－1＝32n－1。故选B。【答案】B考点三由数列的递推关系求通项公式……母题发散【典例3】设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________。【解析】由条件知an＋1－an＝n＋1，则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋22。【答案】n2＋n＋22【母题变式】1.若将本典例“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝nn＋1an”，如何求解？【解析】∵an＋1＝nn＋1an，∴an＋1an＝nn＋12019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题8/44∴an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1，＝n－1n·n－2n－1·n－3n－2·…·12·2＝2n。【答案】an＝2n2．若将本典例“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2anan＋2”，如何求解？【解析】∵an＋1＝2anan＋2，a1＝2，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝2，则1a1＝12，∴1an是以12为首项，12为公差的等差数列。∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2，∴an＝2n。【答案】an＝2n3．若将本典例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？【解析】∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列。当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2n2－1＝n－1。当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n。综上所述，an＝n，n为奇数，n－1，n为偶数，n≥1，n∈N*。【答案】an＝n，n为奇数，n－1，n为偶数，n≥1，n∈N*反思归纳由递推关系式求通项公式的常用方法1．已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an。2．已知a1且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an。3．已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}。考点四数列的性质…………多维探究角度一：数列的周期性2019高考理科数学一轮复习讲义---数列专题9/44【典例4】(1)在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2015等于________。(2)(2016·大兴一中模拟)数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤12，2an－1，12an1，a1＝35，则数列的第2017项为________。【解析】(1)解法一：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…。由此可得a20