(精品)三垂线法求二面角专题

（精品）三垂线法求二面角专题1、（本小题满分13分）如图，已知DA⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，在△ABE中，AE=1，BE=3。（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；解：（Ⅰ）DA⊥平面ABE，∴DA⊥BE△ABE中，AE=1BE=3AB=2∴BE⊥EABEADEBEBCE平面平面平面ADE⊥平面BCE（注：此题也可证明BCEAE面，ADEAE面，从而平面ADE⊥平面BCE）（Ⅱ）过点E作EF⊥AB与F∵DA⊥平面ABE∴平面ABCD⊥平面ABE∴EF⊥平面ABCD过F作FG⊥AC与G，连EG，则EG⊥AC（三垂线定理）∴∠EGF为二面角B—AC—E的平面角。在Rt△EFG中6arctan,6tanEGFGFEFEGF（注：此题答案还可写成42arcsin7或者是写成7arccos7）2、（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形，90ABCDAB，1BCAB，2AD，PA平面ABCD，1PA。⑴、求点P到CD的距离；⑵、求证：平面PAC平面PCD；⑶、求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。⑴解：取AD的中点F，连结CF。易证四边形ABCF是正方形，∴1ABCF又∵2AD∴112CFAD，∴CFAFFD∴90ACD即CDAC∵PA平面ABCD∴CDPC∴P到CD的距离为PC，3PC⑵证明：∵CDAC，ABCDPGHFCDPC且CPCAC，∴CD平面PAC又∵CD平面PCD∴平面PAC平面PCD⑶解：延长DC交AB的延长线于G，连结PG。∴平面PAB平面PGPCD，易证DA平面PAB过A作PGAH，垂足为H，连结DH，得到AHD为所求二面角的平面角552AH，5tanAHADAHD∴5arctanAHD∴平面PAB与平面PCD所成二面角为5arctan（注：此题答案还可写成30arcsin6或者是写成6arccos6，并且也可用射影面积法求解）3、（12分）如图：已知四棱锥ABCDP中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角CDEB的平面角的正切值。【解析】（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，PCDE，那么我们自然想到：是否有PBCDE面？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴DE在平面ABCD内的射影就是DC。在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴DE⊥CB。又CBCPC，PC、PBCBC面，∴DE⊥PBC面。又DE面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC。（2）由（1）的证明可知：DE⊥PBC面。所以，BEC就是二面角CDEB的平面角。∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥DC。∴CB⊥面PDC。又PC面PDC，∴CB⊥PC。在RtECB中，2tanCEBCBEC。4、（12分）一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；（2）求二面角A—BD—C的大小.解析：（1）证明：取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD.又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB平面ABD.∴平面ABD⊥平面ACD.（2）解：∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角∵∠EBG=30°，BE=22m，∴EG=42m又AE=22m，∴tanAGE=GEAE=2，∴∠AGE=arctan2.即二面角A—BD—C的大小为arctan2.