王建辉自动控制原理教学PPT02

第二章自动控制系统的数学模型本章要点•了解建立系统动态微分方程的一般方法。•掌握传递函数的概念及性质。•掌握典型环节的传递函数。•掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。•掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。•掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。2.1微分方程式的编写2.2非线性数学模型的线性化2.3传递函数2.4系统动态结构图2.5系统传递函数和结构图的等效变换2.6信号流图小结主要内容数学模型:描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。2.1微分方程式的编写（1）确定输入、输出变量，设置中间变量（2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写方程组，忽略次要因素,适当简化。（3）消去中间变量，（4）整理规范化,与输出量有关的写在等式左边,并按降幂排列一、建立微分方程的步骤例2-1列写如图所示RC网络的微分方程。解：由基尔霍夫定律得，CuiuoidtduCiooiuRiuioouudtduRCR例2-2试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t)。解：根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：dttiCtiRdttitiC)(1)())()((12222211dttitiCtiRtui))()((1)()(21111dttiCtu)(1)(220整理得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则得)()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。例2-3电枢控制的他激直流电动机如图3所示，电枢输入电压ud(t)，电动机输出转角为。Rd、Ld、id(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流，ed为反电势，n为电动机的转速，M为电动机的转速，GD2为电动机的飞轮惯量。解：电枢回路电压平衡方程为ddddddudtdiLiRe机械运动方程为dtdnGDM3752dmiCMdddddeudtdiLiRnC消去中间变量edemdemdddCundtdnCCRGDdtndCCRGDRL3753752222nCeed实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。2.2非线性数学模型的线性化当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2=f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数)(!21)()()(2101102121011011012xxdxfdxxdxdfxfxfxxx当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成)()()(10120101101102xxKxxxdxdfxfxx其中为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。101xdxdfK例2-4下图为一铁芯线圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。线圈的微分方程为)()(tuRidtdidiidiΦ当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（u0,i0）附近变化时，即有)()(0tuutuiiiii0线圈中的磁通对也有增量变化，假如在i0附近连续可微，将在i0附近展开成泰勒级数，即Φ0Φ2021200)()(!21)(ididididii因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式ididi00)()(tuiRdtidLi这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略去增量符号而写成)(tuRidtdiLi2.3传递函数一、传递函数的定义在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。即，)()()(sXsXsWrc若已知线性定常系统的微分方程为)()()()()()()()(1111011110txbdttdxbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdarmrmmrmmrmcncnncnncn式中xc(t)为输出量，xr(t)为输入量。设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上式取拉氏变换，得)()()()(11101110sXbsbsbsbsXasasasarmmmmcnnnn则系统的传递函数为nnnnmmmmrcasasasabsbsbsbsXsXsW11101110)()()()()()(sXsXsWrc或写为二、传递函数的性质1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。3.传递函数的主要特征可由其零点和极点表示4.传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应函数njjmiignnnmmmpszsKcscsdsdsabsW11'1'1'1'1005.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性所造成的。nnnnasasasasD1110)(三、传递函数举例说明例2-5如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。iooooocuudtduRCdtudLCdtduCiRidtdiLuu22解：两边取拉氏变换11122RCsLCssUsUsUsURCsLCsioio解：用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为2()1/1()1/1oiUssCUsLsRsCLCsRCs()1/()iUsLsRsCIs()1/()oUssCIs四、典型环节的传递函数控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。1.比例环节输入量与输出量之间的表达式为xc(t)=Kxr(t)比例环节的传递函数为KsXsXsWrc)()()(式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。2.惯性环节(非周期环节)微分方程)()()(tKxtxdttdxTrcc其传递函数为1)()()(TsKsXsXsWrc式中T——惯性环节的时间常数K——惯性环节的增益或放大系数单位阶跃响应曲线3.积分环节dttxTtxtric0)(1)(其传递函数sTsXsXsWirc1)()()(式中Ti为积分时间常数。单位阶跃响应为4.微分环节dttdxTtxrdc)()(其传递函数sTsXsXsWdrc)()()(式中Td称微分时间常数单位阶跃响应曲线dTcKetx1)(如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数1)(sTsKTsWdd5.二阶振荡环节(二阶惯性环节)其传递函数11)()()(2sTsTTsXsXsWccLrc2222)(nnnsssW式中为无阻尼自然振荡角频率，ζ为阻尼比，在后面时域分析中将详细讨论。Tn1rcccuudtduRCdtudLC22LCn1LCR26.延迟环节(时滞环节)延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间τ后才重现输入信号，其动态方程为)()(txtxrc其传递函数是一个超越函数式中τ称延迟时间需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。2.3系统动态结构图一、系统结构图的组成和绘制由信号线、传递方框、综合点和引出点。表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。1.信号线2单元方框图W(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数W(s)。3相加点表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。＋省略时也表示＋()Us()Us4.分支点表示同一信号传输到几个地方。例2-6图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为二、系统方框图的绘制dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011解：零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsIRC网络方框图各环节方框图一、结构图等效变换和简化1.串联连接W1(s)W2(s)Xr(s)Xc(s)sU)()()()()()()()()()(2121sWsWsXsXsUsWsXsXsWsUrccr2.5系统传递函数和结构图的等效变换2.并联连接W1(s)W2(s)Xr(s)－＋Xc(s))()()()()()]()([)(2121sWsWsXsXsXsWsWsXrcrc3.反馈连接W(s)Xr(s)Xc(s)H(s)Xf(s)E(s))()()(1)()()()()()()()()()()(sXsHsWsWsXsXsXsEsHsXsXsEsWsXrcfrcfc4.相加点的移动相加点后移W(s)Xr(s)Xc(s)Q(s)W(s)Xr(s)Xc(s)Q(s)W(s)相加点前移W(s)Xr(s)Xc(s)Q(s)W(s)Xr(s)Xc(s)Q(s)1/W(s)相加点之间的移动Xr(s)Xc(s)Y(s)X(s)Xr(s)Xc(s)Y(s)X(s)结论：多个相邻的相加点可以随意交换位置。5.分支点的移动分支点后移W(s)Xr(s)Xc(s)Xr(s)W(s)Xr(s)Xc(s)1/W(s)Xr(s)分支点前移W(s)Xr(s)Xc(s)Xc(s)W(s)Xr(s)Xc(s)W(s)Xc(s)分支点之间的移动相邻分支点交换位置，不改变信号的性质。ABXr