3.1不等关系与不等式

3.1不等关系与不等式主要内容3.比较代数式大小的方法2.不等式的性质及其证明4.不等式的应用实例1.不等关系1.不等关系最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽车限速范围60kmv120km/h问题1设点A与平面M的距离为d，B为平面M上的任意一点，则d|AB|AMBd问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元.那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式xx)2.01.05.28(20)2.01.05.28(xx问题3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根.由题意，应有以下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：NyNxyxyxyx,,0,0340006005002.不等式的性质及其证明事实上，实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．譬如图中，设点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b．BAab回忆两个实数的大小是如何确定的？.0;0;0babababababa从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点.基本事实作差比较法1.不等式的性质性质1如果ab,那么ba;如果ba,那么ab证明：由于ab,可得a-b0所以-（a-b）0即b-a0所以ba.同理可证得：如果ba,那么ab说明：此性质可称为不等式的自反性性质2如果ab,bc,那么ac.证明：由于ab,得a-b0；又bc，得b-c0;所以a-c=(a-b)+(b-c)0即a-c0所以ac.说明：此性质可称为不等式的传递性。性质3如果ab,那么a+cb+c证明：由于ab,得a-b0；所以（a+c）-（b+c）=a-b0即(a+c)-(b+c)0所以a+cb+c.说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.性质4如果ab,c0,那么acbc;证明：由于ab,得a-b0；ac-bc=c(a-b)0所以acbc.说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，不等号的方向改变.如果ab,c0,那么acbc.当c0时ac-bc=c(a-b)0所以acbc.当c0时性质5如果ab,cd,那么a+cb+d;证明：由于ab,得a-b0又cd,得c-d0；说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)0所以a+cb+d.性质6如果ab0,cd0,那么acbd;证明：由于ab,得a-b0,又cd,得c-d0ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.所以ac-bd0即acbd.由题意知a0,d0,且c-d0,a-b0性质7如果ab0,那么anbn(nN,n2);证明：由于ab0,根据性质6，自乘得；aabb即a2b2.说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.继续用性质6，可得a3b3.显然a2b20,继续下去可得anbn(nN,n2);性质8如果ab0,那么(nN,n2);证明：用反证法证明，假设结论不成立则；说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.则得a=b，与已知ab矛盾若若nnbannbannbannbannba或nnba则由性质7,两边n次幂得ab，所以假设不成立，原结论成立(nN,n2).与已知ab矛盾.证明命题的方法简介在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论题，我们把证明命题的方法分为直接证明和间接证明.直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明.其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明理由.直接证明是最常见的证明方法.间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实性的证明，就是说，用这种证明方法证明的论题不是由论据按照推理规则直接推得，而是通过间接的方法得到证明的.间接证明分为反证法和选言证法.直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明.综合法:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）.分析法:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.反证法简介反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立.反证法的证题模式反证法证明命题的一般步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种反证法又叫“穷举法”归谬法和穷举法反证法的类型在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：2.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.1.命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.反证法的适用范围不等式的常见证明方法1.直接证法1）比较法（作差、或作商）2）综合法3）分析法4）其它换元法、放缩法等2.间接证法反证法例1.如果ab0,c0,求证证明：abbacababcabcacbbcac)()(作差,0)(abbacbcac.bcac即bcac由已知ab0,得a-b0,ab0,又c0,所以练习1写出ab与ba11同时成立的充要条件解答：ab00ab所以b,a又一方面，若ab0,则abbaababba11另一方面ba11011ababba即能同时成立baba11与所以例2已知a0，b0，求证：a3+b3≥a2b+ab2即a3+b3≥a2b+ab2.证明一：比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a0，b0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)故a3+b3≥a2b+ab2.2233abbaba证明二：比较法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴ababab2ababba22)ba(ab)abba)(ba(221又a0，b0，所以ab0，所以有a3+b3≥a2b+ab2.证明三：分析法欲证a3+b3≥a2b+ab2，只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).由于a0，b0，所以a+b0，故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。即证明a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab显然是成立的即a3+b3≥a2b+ab2.证明四：综合法∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a0，b0，∴a+b0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).3.比较代数式大小的方法例3.比较与的大小．22)1(x124xx分析：此题属于两个代数式比较大小，可以作差，判断差值正负，从而得出两个代数式的大小.)1()1(:2422xxx解1122424xxxx,2x当时，，所以0x02x.1)1(2422xxx当时，，所以0x02x.1)1(2422xxx2.比较代数式大小的方法例4.已知，比较与的大小．0a)12)(12(22aaaa)1)(1(22aaaa解：作差比较)1)(1()12)(12(2222aaaaaaaa])1[(2)1(222222aaaa2a因为a0，所以-a20)1)(1()12)(12(2222aaaaaaaa)4)(2()5)(3(aaaa解：)82()152(22aaaa).4)(2()5)(3(aaaa所以,07比较与的大小．)5)(3(aa)4)(2(aa练习21).如果a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）（A）＞（B）＞（C）｜a｜＞｜b｜（D）a2＞b22).a、b是任意实数，且a＞b，则（）（A）a2＞b2（B）（C）lg（a-b）＞0（D）＜1a1b1ab1a12a12b1baBD练习33.a、b、c、d是任意实数，且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是（）（A）a+c＞b+d（B）a-c＞b-d（C）ac＞bd（D）Acbda4.不等式的应用实例例5.某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的少5顶.若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一定帐篷没有住满.若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来.解：设A型号帐篷有x个，则B型号帐篷有（x+5)个，则有如下不等关系：48)4(448)5(354850484050xxxxxx7623练习：旅行社为了吸引更多的游客加入，各自推出了独特的营销策略，实行团体优惠是司空见惯的.甲、乙两家旅行社对家庭旅行者的优惠条件是：甲旅行社称凡全家旅游，其中一人交全费的，其余的人可享受半价优惠；乙旅行社称全家旅游，所有人均按原价的六折优惠.若甲、乙两家旅行社原价相