《平行线的有关证明》全章复习与巩固(提高)知识讲解

让更多的孩子得到更好的教育第1页共7页《平行线的有关证明》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3.理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.【知识网络】【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫命题.3.反例：要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.要点诠释：（1）命题一般由条件和结论组成.（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.（3）被人们公认的真命题叫公理.(4)经过证明的真命题叫定理.3.证明:要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程就是证明.要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定让更多的孩子得到更好的教育第2页共7页判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.【典型例题】类型一、定义、命题及证明1.我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个命题?试举例说明.【答案与解析】解：是一个命题,例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角”.【总结升华】如果将一个命题的条件与结论互换，则得到这个命题的逆命题，但原命题正确，逆命题不一定正确.举一反三：【变式】下列命题中,真命题有().①如果△A1B1C1∽△A2B2C2，△A2B2C2∽△A3B3C3，那么△A1B1C1∽△A3B3C3；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果242xx＝0,那么x＝±2；④如果a=＝b,那么a3＝b3.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C让更多的孩子得到更好的教育第3页共7页2.如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角．【答案】证明：因为∠AOC+∠COB＝180°(平角定义)，又因为∠AOC＝∠BOD(已知)，所以∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°．所以C、O、D三点在一条直线上(平角定义)，即直线AB、CD相交于点O，所以∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角定义)．【总结升华】证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠COD＝180°．举一反三：【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105经典例题4】【变式】已知:如图,∠1＝∠B,∠2＝∠3,EF⊥AB于F，求证:CD⊥AB.【答案】证明：∵∠1＝∠B，∴MD∥BC（同位角相等，两直线平行）.∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）,又∵∠2＝∠3（已知）,∴∠3＝∠BCD.∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.又∵EF⊥AB（已知）,∴CD⊥AB.类型二、平行线的性质与判定3.对于同一平面内的三条直线a、b、c给出下列四个结论：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a⊥c，请你以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：如果，那么．（只填序号即可）【思路点拨】根据平行线的性质与判定，找出符合要求的正确的命题即可．让更多的孩子得到更好的教育第4页共7页【答案】③④，②．【解析】本题答案不唯一，现给出一种答案：解：同一平面内的三条直线a、b、c如果③a⊥b，④a⊥c，那么②b∥c，故答案为：③④，②．【总结升华】此题考查了命题与定理，用到的知识点是平行线的性质与判定，关键是熟练掌握有关性质．4.如图所示，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE．【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系．【答案与解析】解：过E点作EF∥AB，因为AB∥CD(已知)，所以EF∥CD．所以∠4＝∠D(两直线平行，内错角相等)．又因为∠D＝∠2(已知)，所以∠4＝∠2(等量代换)．同理，由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠3＝∠1．因为∠1+∠2+∠3+∠4＝180°(平角定义)，所以∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠BED＝90°．故BE⊥DE．【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的．举一反三：【变式1】如图所示，已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是().A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDEB．∠BED＝∠ABE-∠CDEC．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDED．∠BED＝∠CDE-∠ABE【答案】C（提示：过点E作EF∥AB）让更多的孩子得到更好的教育第5页共7页【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.求证：AB∥DC.【答案】证明：∵∠ABC＝∠ADC,∴11ABCADC22＝（等式性质）.又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,∴∠1＝ABC21，∠2＝ADC21（角平分线的定义）.∴∠1＝∠2（等量代换）.又∵∠1＝∠3（已知）,∴∠2＝∠3（等量代换）.∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行).类型三、三角形的内角和定理及推论5.如图，P是△ABC内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A和∠BPC的大小，再计算一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A是多少度？这三个角的和与∠BPC有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC和∠A的大小吗？【答案与解析】解：∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC，∠BPC＞∠A。证明：如下图，延长BP到D，则∠PDC＝∠A＋∠∠ABP，∠PDC∠A.同理，∠BPC＝∠PDC＋∠ACP，∠BPC∠PDC.所以∠BPC＝∠ABP＋∠ACP＋∠A，∠BPC＞∠A.ABCPD让更多的孩子得到更好的教育第6页共7页举一反三：【变式1】如图,△ABC的两外角平分线交于点P,易证∠P=90°-12∠A；△ABC两内角的平分线交于点Q,易证∠BQC=90°+12∠A；那么△ABC的内角平分线BM与外角平分CM的夹角∠M=_____∠A.MQPCBA【答案】12【变式2】如图,E是BC延长线上的点,∠1=∠2.求证:∠BAC∠B.【答案】证明：∵∠2=∠B+∠D∴∠B=∠2-∠D又∵∠BAC=∠1+∠D∠1=∠2∴∠BAC∠B类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角∠EFB=30°，你能说出∠EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFG＝30°，又因为折后重合部分相等，所以∠GEF＝∠DEF=30°，所以∠DEG＝2∠DEF＝60°，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以∠EGC＝180°－∠DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为AD∥BC（已知），所以∠DEF=∠EFG=30°（两直线平行，内错角相等）.因为∠GEF=∠DEF=30°（对折后重合部分相等），21EDCBA让更多的孩子得到更好的教育第7页共7页所以∠DEG=2∠DEF=60°.所以∠EGC=180°－∠DEG=180°－60°=120°（两直线平行，同旁内角互补）.【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质．举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把—个长方形纸片对折两次，然后剪下—个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（）A．60°B．30°C．45°D．90°【答案】C