2020版高考数学-福建专用-一轮第五章平面向量-数系的扩充与复数的引入-平面向量基本定理及向量的坐

5.2平面向量基本定理及向量的坐标表示知识梳理-2-知识梳理双基自测234151.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.不共线λ1e1+λ2e2基底互相垂直知识梳理-3-知识梳理双基自测234152.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得=xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对叫做向量a的坐标,记作a=.𝑂𝑃𝑂𝑃(x,y)(x,y)知识梳理-4-知识梳理双基自测234153.平面向量的坐标运算(1)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=.(2)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,λa=,|a|=𝑥12+𝑦12,|a+b|=(𝑥2+𝑥1)2+(𝑦2+𝑦1)2.𝐴𝐵(x2-x1,y2-y1)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)知识梳理-5-知识梳理双基自测234154.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔.x1y2-x2y1=0知识梳理-6-知识梳理双基自测234155.向量的夹角已知两个向量a和b,作则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,那么我们说a与b垂直,记作.𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,非零a⊥b知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()(3)在△ABC中,向量的夹角为∠ABC.()(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成()𝐴𝐵,𝐵𝐶𝑥1𝑥2=𝑦1𝑦2.答案答案关闭(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.已知点A(0,1),B(3,2),向量𝐴𝐶=(-4,-3),则向量𝐵𝐶=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案解析解析关闭设O为坐标原点,∵𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴=(3,2)-(0,1)=(3,1),𝐴𝐶=(-4,-3),∴𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).答案解析关闭A知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.(2018海南琼海模拟)若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-2,4),则以a,b为基底表示c等于()A.a-3bB.-a+3bC.3a-bD.-3a+b答案解析解析关闭设c=λa+μb,由题意可得(-2,4)=(λ,λ)+(μ,-μ)=(λ+μ,λ-μ),则λ+μ=-2,λ-μ=4,解得λ=1,μ=-3,故c=a-3b.答案解析关闭A知识梳理-10-知识梳理双基自测234154.已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)∥(a-b),则实数t=.答案解析解析关闭由题意,得a=(1,-1),b=(t,1),则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),所以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.答案解析关闭-1知识梳理-11-知识梳理双基自测234155.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案解析解析关闭∵|a+b|2=|a|2+|b|2,∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.答案解析关闭-2-12-考点1考点2考点3考点1平面向量基本定理的应用例1(1)▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD相交于点F.若𝐴𝐶=a,𝐵𝐷=b,则𝐴𝐹=()A.14a+12bB.12a+14bC.23a+13bD.13a+23b(2)设e1,e2是不共线的向量,若𝐴𝐵=e1-λe2,𝐶𝐵=2e1+e2,𝐶𝐷=3e1-e2,且A,B,D三点共线,则λ的值为.(3)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,e1+e2=.思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?答案答案关闭(1)C(2)2(3)23a-13b-13-考点1考点2考点3解析:(1)如图.∵𝐴𝐶=a,𝐵𝐷=b,∴𝐴𝐷=𝐴𝑂+𝑂𝐷=12𝐴𝐶+12𝐵𝐷=12a+12b.∵E是OD的中点,∴|𝐷𝐸||𝐸𝐵|=13,∴|DF|=13|AB|.∴𝐷𝐹=13𝐴𝐵=13(𝑂𝐵−𝑂𝐴)=13×-12𝐵𝐷—12𝐴𝐶﷧=16𝐴𝐶−16𝐵𝐷=16a-16b,∴𝐴𝐹=𝐴𝐷+𝐷𝐹=12a+12b+16a-16b=23a+13b,故选C.-14-考点1考点2考点3(2)∵𝐶𝐵=2e1+e2,𝐶𝐷=3e1-e2,∴𝐵𝐷=𝐶𝐷−𝐶𝐵=(3e1-e2)-(2e1+e2)=e1-2e2.∵A,B,D三点共线,∴𝐴𝐵与𝐵𝐷共线,∴存在μ∈R使得𝐴𝐵=μ𝐵𝐷,即e1-λe2=μ(e1-2e2).由e1,e2是不共线的向量,得1=𝜇,-𝜆=-2𝜇,解得λ=2.-15-考点1考点2考点3(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得𝑚-𝑛=1,2𝑚+𝑛=1,所以𝑚=23,𝑛=-13.所以e1+e2=23a-13b.-16-考点1考点2考点3解题心得1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设𝐴𝐷=a,𝐴𝐵=b,若𝐴𝐵=2𝐷𝐶,则𝐴𝑂=(用向量a和b表示).(2)如图,在同一个平面内,向量𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶的模分别为1,1,√2,𝑂𝐴与𝑂𝐶的夹角为α,且tanα=7,𝑂𝐵与𝑂𝐶的夹角为45°.若𝑂𝐶=m𝑂𝐴+n𝑂𝐵(m,n∈R),则m+n=.答案:(1)23a+13b(2)3-18-考点1考点2考点3解析:(1)∵𝐴𝐵=2𝐷𝐶,∴AB∥DC.∴△COD∽△AOB,∴𝐴𝑂𝐶𝑂=𝐴𝐵𝐶𝐷=2,∴𝐴𝑂=23𝐴𝐶.又𝐴𝐶=𝐴𝐷+𝐷𝐶=𝐴𝐷+12𝐴𝐵,∴𝐴𝑂=23𝐴𝐷+13𝐴𝐵=23a+13b.-19-考点1考点2考点3(2)|𝑂𝐴|=|𝑂𝐵|=1,|𝑂𝐶|=√2,由tanα=7,α∈[0,π]得0απ2,sinα0,cosα0,tanα=sin𝛼cos𝛼,sinα=7cosα,又sin2α+cos2α=1,得sinα=7√210,cosα=√210,𝑂𝐶·𝑂𝐴=15,𝑂𝐶·𝑂𝐵=1,𝑂𝐴·𝑂𝐵=cos𝛼+π4=-35,得方程组𝑚-35𝑛=15,-35𝑚+𝑛=1,解得𝑚=54,𝑛=74,所以m+n=3.-20-考点1考点2考点3考点2平面向量的坐标运算例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)(2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?12a-32b=()𝑀𝑁答案解析解析关闭(1)∵a=(1,1),b=(1,-1),∴12a=12,12,32b=32,-32.∴12a-32b=(-1,2).(2)设N(x,y),∵𝑀𝑁=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),∴𝑀𝑁=(x-5,y+6)=(-3,6).∴𝑥-5=-3,𝑦+6=6,即𝑥=2,𝑦=0.故选A.答案解析关闭(1)D(2)A-21-考点1考点2考点3解题心得向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)在▱ABCD中,AC为一条对角线,若A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)(2)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),则|a+2b|=()𝐴𝐵=(2,4),𝐴𝐶=(1,3),则𝐵𝐷=()A.2√2B.√5C.2D.4答案解析解析关闭(1)由题意得𝐵𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝐵=𝐵𝐶−𝐴𝐵=(𝐴𝐶−𝐴𝐵)-𝐴𝐵=𝐴𝐶-2𝐴𝐵=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).(2)∵向量a=(2,-1),b=(0,1),∴a+2b=(2,1).∴|a+2b|=√5,故选B.答案解析关闭(1)B(2)B-23-考点1考点2考点3考点3平面向量共线的坐标表示例3(1)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量与向量a=(λ,1)共线,则λ=.(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为.思考向量共线有哪几种表示形式?两个向量共线的充要条件有哪些作用?𝑃𝑄答案答案关闭(1)-23(2)60°-24-考点1考点2考点3解析:(1)∵点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1),∴向量𝑃𝑄=2𝑃𝑀=2(1+1,-1-2)=(4,-6).又𝑃𝑄与向量a=(λ,1)共线,∴4×1+6λ=0,即λ=-23.(2)由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理得b2+a2-c2=ab.由余弦定理得cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=12.又0°C180°,∴C=60°.-25-考点1考点2考点3解题心得1.向量共线的两种表示形式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)a∥b⇒a=λb(b≠0);(2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用(2).2.两个向量共线的充要条件的作用:判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.-26-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知向量𝑂𝐴=(k,12),𝑂𝐵=(4,5),𝑂𝐶=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A.-23B.43C.12D.13(2)(2018全国Ⅲ,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案解析解析关闭(1)𝐴𝐵=𝑂𝐵−𝑂𝐴=(4-k,-7),𝐴𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝐴=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以𝐴𝐵,𝐴𝐶共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-23.(2)2a+b=2(1