数系的扩充与复数的引入

人教A版选修1-2数学第三章数系的扩充与复数的引入山东鄄城县第二中学高二数学教师本章学习的主要内容是数系的扩充和复数的概念，复数代数形式的四则运算。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础。通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。（4）了解复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。一、课程目标二、学习目标三、本章知识结构框图数系扩充复数引入复数代数形式的四则运算复数的概念四、课时安排3.1数系的扩充和复数的概念约2课时3.2复数代数形式的四则运算约2课时§3.1数系的扩充与复数的概念数系的扩充复数的概念复数的代数表示及复数相等的定义复数的几何意义本节要点教学情境设计210x在实数集中有解么？方程答：无解联系从自然数系到实数系的扩充过程，我们可以考虑将实数系扩大。你能设想一种方法，使这个方程有解么？回顾数系的每一次扩充过程都与实际需求密切相关。简要讲述数系扩充的历史，人们为了计数，创造了自然数，1，2，3，…我们看到的自然界中事物的个数都是自然数，如一支钢笔，三本书，后来人们为了方便将0归入自然数。为了公平分配物质，引入了分数，如一个苹果平均分给三个人，每个人得到多少苹果？为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数．如今天最低温度为零下3度，最高温度为8度，就用到了负数。边长为1的正方形对角线之长不是分数，5开方开不尽，不能用分数来表示，于是无理数出现了。数系扩充发展到了实数集了，这是我们以前学到的非常熟悉的数集。背景知识在实数集内，像这样的方程是没有根的，再如负数开方问题，如果限于实数系，有些问题就无法解决，为了解决此矛盾，像上面数系扩充的过程一样，一个自然的想法就是引入新数，将实数系进一步扩充，从而使问题解决。复数概念的引入与这种想法直接相关。复数是16世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的。它在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。复数与向量、平面几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础。导入新课210iiix2为了解决方程在实数集中无解的问题，我们引入新数，使使此方程的根，即使=-1.iiaa实数与相加，结果记做；iibb实数与相乘，结果记做；i(,R).   iabbaba实数与实数和相乘的结果相加，结果记做i(,RC     {i,R}.abababab由于加法和乘法的运算律仍然应该成立，从而这些运算的结果都可以写成这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到新数集应该是）i i我们将加入到实数集中，由前面数系扩充的过程可知，原先的运算法则运算律应该仍然成立。即希望新引进的数和实数之间仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。知识精要,,ababababC+iR}+iRiC复数：我们把集合={中的数，即形如（）的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数的集合叫做复数集合。RCRC答：，即是的真子集。数系的扩充过程为有理数分数整数实数无理数复数虚数复数集C和实数集R之间有什么关系？事实上，复数是最大的数集，下面我们就来认识学习复数。1,(2)i2(1)i可以与实数一起进行四则运算，并且加乘运算律不变。i000000abbabbab对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数.i(,R),ababab复数通常用字母z表示，即z这一表示形式叫做，其中的与分别叫复数z的复实数的代数形式部与虚部。C={i,}ii(,,,),ii.ababRabcdabcdRacbcddab在复数集中任取两个数，我们规定复：与相数等的充要条件是且相等：基本理论000bzba实数（），复数虚数（）（当时为纯虚数）.izab复数可以分类如下：复数集虚数集实数集纯虚数集复数分类,)zabab任何一个复数i,都可以由一个有序实数对（来确定。而有序实数对（a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应。因此复数集与坐标系中的点集一一对应。实数的几何意义复数的几何意义？类比,),)zabababzab任何一个复数i,都可由有序实数对（来唯一确定。任何一对有序实数对（，都唯一确定一个复数i即复数的实质是。有序实数对。由复数相等的定义易知。几何意义(,)abzababxy如图，点Z的横坐标是,纵坐标是,复数i可用点Z表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做，轴叫做，轴叫做。实轴上的点都表示实数，虚轴上的点，除原点外，都表示虚数。复平面实轴虚轴实轴虚轴复平面(,)zabab一一对应复数i复平面内的点ZiabＺ：xboya意义之一22OZi,(0,).rzabzabiraabrbRira向量的模叫做复数的模，记做或由模的定义知：复数实质有序数对平面向量复数表示ZZCzabOZOZOZ如图，设复平面内的点Z表示复数i，连结,向量由点唯一确定；点也可由向量唯一确定。因此，复数集与复平面内的向量所组成的集合一一对应。iabＺ：xboyazabOZ一一对应复数i平面向量意义之二两种几何意义i(,)zabab任何一个复数与平面内一个点Z一一对应。(,)(,)ababOZ复平面内任意一点Z又与以原点为起点，点Z为终点的向量一一对应。izab(,)abZOZ一一对应iZZzabO为方便，我们常把复数说成点或说成向量，规定，相等的向量表示同一复数。例1指出下列复数的实部与虚部：i分析：熟悉复数的概念，代数形式，实部、虚部的概念。考察对的理解。3234iiii1,i.1i，6，-5i,3，0，（），23234ii06.030.0ii1iii1i221i21i21i1i,1i1i(1i)1i1111.iii1ii解：的实部是3，虚部是4.6的实部是，虚部是-5i的实部是，虚部是-5，3的实部是，虚部是的实部是0，虚部也是0.（），所以它的实部是-1，虚部是1.（）（）（）（）所以它的实部是，虚部是（），所以它的实01.部是，虚部是知识巩固R11immmzabm分析：因为，所以，都是实数，由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的值。1(-1)mzmm.例2实数取什么值时，复数i是（1)实数；(2)虚数；（3）纯虚数10110110101mmzmmzmmmz解：（1）当，即时，复数是实数；（2)当，即时，复数是虚数；（3）当，且，即时，复数是纯虚数.)(1)i(23)(21)i,xyyxyyxy例3如果（，求实数的值.23,4,121,2.xyxyxyyy解：由复数相等的定义（条件），得解得分析：巩固复数相等的定义。练习：P52，1，2.P55，1，2.小结与反思数系的扩充和复数的概念，重点在于基本概念的理解，了解人类数集发展的历史，培养开拓创新的意识，锻炼解决问题的能力，学会多角度思考问题，初次接触虚数，要从感性上认识把握，掌握基本原则，关于习题，关键在于把握方法，分清题型，抓住本质。欢迎指导！谢谢！