高中不等式习题精选精解

1高中不等式习题精选精解一、求取值范围1、已知31,11yxyx，求yx3的取值范围。解：)(*2)(*13yxyxyx根据已知条件：731,3*2132*11yxyx所以yx3的取值范围是7,12、已知cba，且0cba，求ac/的取值范围。解：由已知条件，显然0,0ca2/1/,0,02,acacbacacb2/,0,2,02,acaaccbacaba综上所述ac/的取值范围是2/1,23、正数yx,满足12yx，求yx/1/1的最小值。解：2/2/1)/1/1)(2()/1/1(*1/1/1xyyxyxyxyxyx223)/2)(/(23xyyx（yx,为正数）4、设实数yx,满足1)1(22yx，当0cyx时，求c的取值范围。解：方程1)1(22yx表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线0cyx（c为常数）与圆在第二象限相切时，c取到最小值；（此时，切点的坐标),(yx满足0cyx，其它圆上的点都满足0cyx（因为在直线的上方），当c增大，直线向下方平移，圆上的全部点满足0cyx，因此：12,0)21(0minmincc所以c的取值范围是,12xy25、已知函数2()(0)fxaxbxa满足1(1)2f，2(1)5f，求(3)f的取值范围。解：由习已知得：52,21baba设：6339)()(39)3(nmnmnmbanbambaf27)3(12),1(*3)1(*6)3(ffff所以)3(f的取值范围是27,126、已知：a、b都是正数，且1ab，1aa，1bb，求的最小值解：ba,是正数，41,4122abbaab5111)11()(11ababbabababbaa的最小值是5，（当且仅当2/1ba时）。7、已知集合045|2xxxA与022|2aaxxxB，若AB，求a的取值范围。解：41|,41,0)1)(4(452xxAxxxxx设222aaxxy（*）当BØ，即方程（*）无解，显然AB成立，由0得0)2(442aa，解得)1(21a当BØ，且AB成立，即：41||21xxxxxx根据图像得出：4221024*24021*2122aaaaa，解得)2(7181a综合（1）（2）两式，得a的取值范围为7/18,1。o14X1x2xy38、若关于x的方程0124aaxx有实数解，求实数a的取值范围。解一：设xt2，0,02tx，原题转换为求方程012aatt在,0上有解。共有两种情况，一种是有两个根，一种是只有一个根（如图所示），由二次函数的图像和性质，得方程012aatt在,0上有实数解的充要条件为：01)0(0)1(401)0(020)1(422afaaafaaa或注：两组不等式分别对应两个图解得222,12221aaa即或所以a的取值范围是222,解二：由方程012aatt得)0(112ttta函数)0(11)(2ttttf的值域就是a的取值范围。222)222(212)1(12)1(12)1(1122tttttttta所以a的取值范围是222,二、解不等式1、032)2(2xxx解：不等式0)()(xgxf与0)(0)(xgxf或0)(xg同解，也可以这样理解：符号“”是由符号“”“=”合成的，故不等式0)()(xgxf可转化为0)()(xgxf或0)()(xgxf。解得：原不等式的解集为13|xxx或oyxoyx42、0322322xxxx.解：0322322xxxx0320)32)(23(222xxxxxx0)1)(3(0)1)(3)(2)(1(xxxxxx，用根轴法（零点分段法）画图如下：原不等式的解集为3211|xxx或。3、)0(,112aaxx解：原式等价于axx11211,112axx，即0ax注：此为关键0,0xa原不等式等价于不等式组0)1(122xaxx解得：0|1120|102xxaaaxxa时，原不等式解集为当时，原不等式解集为当4、0)2)(2(axx解：当0a时，原不等式化为02x，得2x；当0a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得22xa；当10a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得axx22或；当1a时，原不等式化为0)2(2x，得2x；当1a时，原不等式化为0)2)(2(axx，得22xax或213-1+++--5综合上面各式，得原不等式的解集为：5、关于x的不等式0bax的解集为,1，求02xbax的解集。解：由题意得：0a，且ba则不等式02xbax与不等式组020)2)((xxbax同解得所求解集为21|xxx或6、已知0a且1a，关于x的不等式1xa的解集是0xx，解关于x的不等式1log()0axx的解集。解：关于x的不等式1xa的解集是0xx，1a，1011115log()012xxaxxxxx或1512x原不等式的解集是1515(1,)(1,)22。三、证明题1、已知cba，求证：222222cabcabaccbba证一：)()()(222222accacbbcbaabcabcabaccbba)()()()()()()(bacacbcacbbcbaababbccacbbcbaab)(,0))()(())(())((cbacacbbaabcbccbbaa222222cabcabaccbba，证毕。证二：)()()(222222222bacacbcbacabcabaccbba))(())(()()()(2222222bcbabacbbacabbcbcba0))()(())()(())()((cacbbacbcbbababacb6222222cabcabaccbba，证毕。2、设0ab,n为偶数,证明11nnnnbaab11ab证：11nnnnbaab1111()()()nnnnnabababab.①当0,0ab时,()0nab,(nnab11)()nnab0,∴11()()()nnnnnababab0,故11nnnnbaab11ab;②当,ab有一个负值时,不妨设0,0ab,且0ab,即||ab.∵n为偶数时,∴(nnab11)()nnab0,且()0nab∴11()()()nnnnnababab0,故11nnnnbaab11ab.综合①②可知,原不等式成立注：必须要考虑到已知条件0ab，分类讨论，否则不能直接得出(nnab11)()nnab03、求证：2216(4)36aa229证：设向量(,4),(4,6)paqa,由||||||pqpq,得2216(4)36aa||||pq||pq|(,4)(4,6)||(4,10)|16100229aa注意：当p∥q时，即8a，)48(，p，)6,12(q，p、q方向相同，取等号。当利用公式||||||qpqp证明时，会得：2216(4)36aa||||pq|||(,4)(4,6)||(4,2)|16425pqaa的错误结论，因为这里取等号的条件是p∥q，且p、q方向相反，根据题设条件，p∥q时，方向相同，故取不到等号，计算的结果也使不等式范围缩小了。74、求证：nn12131211222（2n）证一：nnnnn111)1(112（2n）nnnn12111)3121()2111(1131211222原不等式成立，证毕。证二：当2n时，原不等式为：2122112，显然成立；假设当n取k-1时，原不等式成立，即112)1(131211222kk成立，则2222222)1(1211121)1(131211kkkkkkkkkkkkkkkkkk12)1(112)1(1)1()1(2222，即n取k时原不等式也成立。综上，对于任意n（2n）原不等式成立，证毕。注意：此类证明方法称为数学归纳法5、设213fxxx，实数a满足1xa，求证：21fxfaa证：|)(||1313||)()(|2222axaxaaxxafxf=|12)(||1||)1)((|aaxaxaxax当0ax，)1|(|2|2||12)(||)()(|aaaaxafxf当0ax，)1|(|2|12||12)(||)()(|aaaaxafxf当0ax，)1|(|2||)|1(2||12)(||)()(|aaxaaaxafxf综合式情况，原不等式成立。证毕注：式的最后一步省略了对0,0,0aaa的详细分析，正式解题时不能省。分析过程用ba,同号|;|||||||||||||bababababa,异号||||||||||||||babababa6、已知：xyyxyxyxyx22,,0,0且，求证：341yx8证：由已知得：xyyxyx2)(，即)()(2yxyxxyyx，及基本不等式22yxxy，代入式得：)()(222yxyxyx解得34yx；0,0,0xyyx，由式得0)()(2yxyx，1yx综上得：341yx。证毕。7、已知1,0,,abccba,证明：)111(21)(1)(1)(1333cbabacacbcba证：cbacbabccbaabccba1111)()()(12233，,1114111111141)(123acbcbacbcba，（0,,cba）同理得：bcaacb1)11(41)(13，cbabac1)11(41)(13式两边相加，得cbacbabacacbcba111)111(21)(1)(1)(1333)111(21)(1)(1)(1333cbabacacbcb