中考数学专题之二次函数三大题型汇总

中考数学专题之二次函数三大题型汇总题型一：周长，面积问题和最小，差最大例1：已知二次函数2yxbxc的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是-2。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值。解析：(1)将(3,0),(1,0)AB代入2yxbxc，得93010bcbc，23bc∴223yxx(2)∵2223(1)4yxxx∴对称轴1x，而A，B关于对称轴对称∴连结BD与对称轴的交点即为所求P点.过D作DF⊥x轴于F.将2x代入223yxx，则4433y∴D（-2，-3）∴3,1(2)3DFBFRt△BDE中，BD=223332∵PA=PB∴PA+PD=BD=32故PA+PD的最小值为32总结:本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式以及求二次函数对称轴，和点关于某直线对称的问题，难度适中，具有一定的综合性．例2：已知抛物线y＝与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），C（2，-2）是抛物线外一点，在抛物线的对称轴上存在一点P，使得|PB-PC|值最大，则点P坐标是．解析：总结:本题是二次函数综合题型，主要涉及抛物线与坐标轴的交点的求解，抛物线的对称轴，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的三边关系，找出点C关于对称轴的对称点C′，并且判断出点P在直线BC′是解题的关键，也是本题的难点．面积最大值例1：（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．总结:此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．题型二：常见的几何图形(直角三角形，等腰三角形，平行四边形，圆)直角三角形例1（2018•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+4，将A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5．（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）．如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，∴，即，求得⊙C的半径CE=；而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞，∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．（3）存在．理由如下：有两种情况：（I）如答图②所示，点P在x轴上方．∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5①又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5②联立①②式，解得：m=2或m=5．当m=5时，点F与点C重合，故舍去，∴m=2，∴n=3，∴点P坐标为（2，3）；（II）如答图③所示，点P在x轴下方．∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；过点P作PF⊥x轴于点F，∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，∴m+n=﹣5①又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5②联立①②式，解得：m=0或m=7．当m=0时，点F与原点重合，故舍去，∴m=7，∴n=﹣12，∴点P坐标为（7，﹣12）．综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣12）．总结：（1）由顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断直线与圆的位置关系，关键是分析圆的半径r和圆心到直线距离d之间的大小关系．由题意可知d=2，由相似三角形求得r=，因为2＞，所以可判定抛物线的对称轴l与⊙C相离；（3）本问是存在性问题．点P有两种情况，分别位于x轴上方与下方，需要分类讨论，注意不要漏解；在求点P坐标时，需要充分利用几何图形（等腰直角三角形）的性质，以及抛物线上点的坐标特征等腰三角形例1：（2018•宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．解析：解：（1）设抛物线的解析式把A（2，0）C（0，3）代入得：解得：∴即（2）由y=0得∴x1=2，x2=﹣3∴B（﹣3，0）①CM=BM时∵BO=CO=3即△BOC是等腰直角三角形∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形∴M点坐标（0，0）②BC=BM时在Rt△BOC中，BO=CO=3，由勾股定理得BC=∴BC=，∴BM=∴M点坐标（总结：本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．平行四边形例1：已知抛物线y=ax2-2ax-b（a＞0）与x轴的一个交点为B（-1，0），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；（2）以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的解析式；②点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点F的坐标．解析：（1）已知抛物线解析式和点B的坐标求出a值，利用对称轴求出对称轴以及点A的坐标．（2）①本题要靠辅助线的帮助．连接AC，AD，过DM⊥y轴于点M．证明△AOC∽△CMD后可推出a，b的值．②证明四边形BAFE为平行四边形，求出BA，EF得出点F的坐标．总结：本题考查的是二次函数的综合运用以及平行四边形的判定定理，利用数形结合以及分类讨论得出F点的坐标是解题关键．圆例1（2017年浙江一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA:OB=1:5，OB=OC，△ABC的面积，抛物线经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）点P(2，－3)是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交x轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把⊿PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；（3）设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F.以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入求解即可；（2）先根据点B、C的坐标求出直线BC的解析式，在设出点M的坐标，从而求出MH的解析式，根据抛物线的对称轴x=2得到直线MH与对称轴的交点D的坐标，求出DP的长度，然后根据S△PMH=S△PMD+S△PDH，列式得到关于t的二次函数，最后根据二次函数的最值问题解答即可；（3）存在．根据抛物线的解析式设出点E的坐标，然后根据二次函数的对称性求出点E到对称轴的距离，再根据以EF为直径的⊙Q与x轴相切，则点E到x轴的距离等于点E到对称轴的距离相等，然后列出方程，再根据绝对值的性质去掉括号解方程即可，从而得到点E的坐标．答案：（1）（2）由题意可求得直线BC：y=x－5，xOy15ABCS2(0)yaxbxca542xxyyxABCO∵M(0，－2t)直线MH平行于直线BC，∴直线MH为y=x－2t，设直线MH与对称轴交与点D，点D的坐标为（2,2－2t），∴DP=5－2t，∴S△pmh=×2t(5－2t)=—2t2+5t(0＜t＜)，当t=时，S有最大值是．（3）当点E在x轴下方且对称轴右侧时坐标为（，）；当点E在x轴下方且对称轴左侧时坐标为（，）；当点E在x轴上方且对称轴右侧时坐标为（，）；当点E在x轴上方且对称轴左侧时坐标为（，）；总结：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法确定抛物线的解析式和平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．题型三：动点问题例1：如图①，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为01084，，，，顶点CD，在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点40E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在AB边上运动时，OPQ△的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数21254582523732371237523712375237123732371图①图象为抛物线的一部分（如图②所示），求PQ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）若点PQ，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使90OPQ∠的点P有个．C（抛物线20yaxbxca的顶点坐标是2424bacbaa，．解析：（1）作BFy轴于F．01084AB，，，，86FBFA，．10AB．（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．又1010101AB，．PQ，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PGy轴于G，则PGBF∥．GAAPFAAB，即610GAt．35GAt．3105OG