3.1.1不等关系与不等式

3.1.1不等关系与不等式含有这些不等号1.用数学符号“≠”，“”,“”,“≥”,“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系,.的式子，叫做不等式.2.常用不等式的基本性质：（1）ab,bcac;（2）aba+cb+c;（3）ab,c0acbc;（4）ab,c0acbc;（5）ab,cda+cb+d;（6）ab0,cd0acbd;（7）ab0,n∈N，n1anbn;（8）ab0,n∈N,n1.nanb学点一不等式的概念《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.1～1.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票.…十、旅客每人免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克…”设儿童身高为hm，物品外部尺寸长、宽、高之和为pcm，请在下表空格内填上对应的数学符号（,≤,,≥）,并与同学交流.【解析】符号表示1.1≤h≤1.4,h1.4,h1.1,p≤160.文字表述1.1~1.4m超过1.4m不足1.1m不超过160cm符号表示【分析】分清题目中文字表述的是儿童身高hm还是物品外部的尺寸长、宽、高之和pcm是写出不等式的关键.【评析】将实际中的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表：文字语言数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞大于等于≥至多≤不小于≥小于＜小于等于≤至少≥不多于≤例1.某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m2，可住游客5人，每名旅客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3人，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修.写出满足上述所有不等关系的不等式.解：设装修大、小客房分别为x间、y间，则.y,x,yx+,yx+.y,x,yx+,yx+0≥0≥60≤5640≤350≥0≥180≤15180008≤6000001即判断两个实数大小的依据是：000abababababab作差比较法这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.学点一、比较法例2．比较x2－x与x－2的大小。解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)0，因此x2－xx－2.3x12xx例3.比较与的大小.解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1=x2(x－1)+(x－1)=(x－1)(x2+1),∵x2+10，∴当x1时，x3x2－x+1；当x=1时，x3=x2－x+1，当x1时，x3x2－x+1.例4比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．解:∵(3)(5)(2)(4)aaaa22(215)(28)7aaaa∴(3)(5)(2)(4)aaaa0∴(3)(5)(2)(4)aaaa课堂练习:在下列各题的横线中填入适当的不等号.22212(32)_____626;(32)____(61);11______;52650____log.abab12⑴⑵⑶⑷若，log选讲【分析】采用作差比较法，要注意运用幂的运算性质对差式进行化简，并运用指数函数的性质判断差值与零的大小关系.设mn0,a0,比较am+a-m与an+a-n的大小.【解析】【评析】作差法比较大小，关键是判断差的符号，应注意应用函数性质.学点二不等式的性质【分析】若要判断上述命题的真假，依据就是实数集的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质，经过合理的逻辑推理即可判断.例5.对于实数a，b，c，判断下列命题的真假.(1)若ab,则acbc；(2)若ac2bc2,则ab；(3)若ab0,则a2abb2；(4)若ab0,则|a||b|；(5)若cab0,则.(6)若ab,,则a0,b0.ba11bcbaca【解析】（１）因为c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题.（２）由ac2bc2，知c≠0,c20,∴0.故该命题为真命题.（3）由a2ab.由abb2.∴a2abb2.故该命题为真命题.21caba0abb0（４）两个负实数,数小的离原点远,故绝对值反而大.故该命题为真命题.（５）ab0-a-b,cab00c－ac-b.故该命题为真命题.（６）由已知条件知：又∵ab,∴a0,b0.故该命题为真命题.00011110abababbaba,baba【评析】上述判断真假命题的例子可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握性质定理及其推论的条件和结论.如问题（１）～(3)主要考查了对定理3的理解，这是应用定理3最易出错的地方，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正、负、零,否则，结论不确定.问题（５）（６）涉及两个已知数的倒数间的关系，由定理3可推导出结论.另外，若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等；若判断命题是假命题,只需举一反例.例6.分别判断下列各命题是否成立，并简述理由.（1）ab2-x·a2-x·b;（2）ab,cda-cb-d;（3）ab,cd,cd≠0;（4）|a|b0anbn(n∈N,n≥1).dbca解:以不等式的性质为起点,逐一验证每一个命题的真伪.（1）成立.∵2-x0,由性质知2-x·a2-x·b;（2）不成立.令a=5,b=4,c=3,d=1时，有a-cb-d;（3）不成立.ab0,c0,d0时显然有;（4）不成立.|a|b0|a|nbn,但|a|n与an可能相等，也可能互为相反数.dbca学点三利用不等式的性质证明不等式【分析】恰当使用不等式性质进行变形是关键.（1）已知ab,，求证：a0,且b0;（2）已知ab0,cd0,求证：acbd;（3）已知ab0,cd0，求证：;（4）已知ab0,cd0,求证：.ba11dbacabcbda例7.【解析】【评析】只有同向时不等式才能相加，两边同乘（除）某一数（式）时，一定要注意其正负，必要时要分类讨论.例8.（1）如果30x36，2y6，求x－2y及的取值范围。18x－2y32，518xy（2）若－3ab1，－2c－1，求(a－b)c2的取值范围。因为－4a－b0，1c24，所以－16(a－b)c20学点四应用不等式的性质讨论范围xy已知,求,的范围.2222【分析】已知的不等式相当于所以本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加..,22,22例9.【解析】【评析】两个不等式要相减时，不能直接相减，而要转化为同向相加：α-β=α+(-β).同时要注意，本题中的取不到等号，而左边可以取到等号，这一点极易出错.2220224(1)1,1(2)5ff)3(f例10求:的取值范围.已知:函数,)(2caxxf解：因为f(x)=ax2－c,所以(1)(2)4facfac解之得1[(2)(1)]314(2)(1)33affcff所以f(3)=9a－c=85(2)(1)33ff4(1)1,1(2)5ff因为所以8840(2)333f≤≤5520(1)333f≤≤两式相加得－1≤f(3)≤20.练习：已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，58,33mn所以9a－b=(a－b)+(4a－b)5383由－4≤a－b≤－1，得5520()333ab≤≤由－1≤4a－b≤5，得8840(4)333ab≤≤以上两式相加得－1≤9a－b≤20.例11.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食（同一品种），两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同.其中，甲每次购买1000kg,乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？解：设两次价格分别为a元，b元，则甲的平均价格为元，乙的平均价格为.∴乙合算.2bam0)(2)(22,20001000100022bababaabbanmbaabban1.不等关系a≤b或a≥b的含义是什么？不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者ab，或者a=b”等价于“a不大于b”，即若ab或a=b之中有一个正确，则a≤b正确.如23正确，则2≤3没有逻辑错误，因为2,3是具体数值，“23”比“2≤3”更确切.从集合的观点看，如果a,b是两个实数，则有{(a,b)|a≥b}={(a,b)|ab}∪{(a,b)|a=b}，同理，{(a,b)|a≤b}={(a,b)|ab}∪{(a,b)|a=b}.不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者ab，或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b之中有一个正确，则a≥b正确.2.如何理解不等式的性质?(1)性质1说明把不等式的左边与右边交换，所得的不等式与原不等式异向.（2）性质2说明不等式的传递性提供了两个实数a,c在比较大小时的一种间接方法——媒介法（即通过中间值作媒介来比较大小），同时它也是对不等关系作适当放缩的依据.（3）性质3说明①有了不等式的加法单调性，不等式的移项法则也就有了理论依据，因而不等式就可以像方程一样地变形、化简；②这里的推论还可以推广到任意有限个同向不等式两边可以分别相加，也就是说，多个同向不等式两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.（4）性质4说明①在一个不等式的两边同乘一个非零实数时，不等号是否改向取决于所乘的这个数的正负性；②在性质4的推论中，要注意所有的字母都是正数，例如，如果仅有ab,且cd，就不能推出acbd；同时有两个异号不等式，如ab0,0cd，也不能推出acbd.不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系，值得注意的是其中有一类具有充要性的特征，条件和结论可互相推出，解不等式的每一变形只能依据这一类性质，才能保证变形的同解性；另一类性质只具有充分性的特征，它可以作为证明不等式的依据，但不能作为解不等式的依据.ba11ba11ba113.应用不等式的性质应注意什么？另外注意不要强化或弱化不等式性质成立的条件.例如，在应用“ab,ab0”这一性质时，有些同学可能是弱化了条件，得到ab，也可能是强化了条件，而，得到ab0.1.不等关系是这一章的理论基础，是比较两个实数或代数式的大小的理论基础.比较法中的作差法，实际上是比较这两个实数（或代数式）的值的大小，而这又归纳为判断它们差的符号，这又必然归纳到实数运算的符号法则.2.不等式的性质是不等式的基础，包括四个性质定理及五个推论.不等式的性质是解不等式和证