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习题1041设有一分布着质量的曲面在点(xyz)处它的面密度为(xyz)用对面积的曲面积分表达这曲面对于x轴的转动惯量解假设(xyz)在曲面上连续应用元素法在曲面上任意一点(xyz)处取包含该点的一直径很小的曲面块dS(它的面积也记做dS)则对于x轴的转动惯量元素为dIx(y2z2)(xyz)dS对于x轴的转动惯量为dSzyxzyIx),,()(222按对面积的曲面积分的定义证明公式dSzyxfdSzyxfdSzyxf),,(),,(),,(21其中是由1和2组成的证明划分1为m部分S1S2Sm划分2为n部分Sm1Sm2Smn则S1SmSm1Smn为的一个划分并且iiiinmmiiiiimiiiiinmiSfSfSf),,(),,(),,(111令}{max11imiS}{max12inmimS},max{21则当0时有dSzyxfdSzyxfdSzyxf),,(),,(),,(213当是xOy面内的一个闭区域时曲面积分dSzyxf),,(与二重积分有什么关系？解的方程为z0(xy)DdxdydxdyzzdSyx221故dxdyzyxfdSzyxfD),,(),,(4计算曲面积分dSzyxf),,(其中为抛物面z2(x2y2)在xOy面上方的部分f(xyz)分别如下(1)f(xyz)1解z2(x2y2)Dxyx2y22dxdyyxdxdyzzdSyx22224411因此dxdyyxdSzyxfxyD22441),,(2020241rdrrd313])41(121[2202/32r(2)f(xyz)x2y2解z2(x2y2)Dxyx2y22dxdyyxdxdyzzdSyx22224411因此dxdyyxyxdSzyxfxyD2222441)(),,(2020241rdrrd301494122022rdrrr(3)f(xyz)3z解z2(x2y2)Dxyx2y22dxdyyxdxdyzzdSyx22224411因此dSzyxf),,(dxdyyxyxxyD2222441)](2[320202241)2(3rdrrrd1011141)2(62022rdrrr5计算dSyx)(22其中是(1)锥面22yxz及平面z1所围成的区域的整个边界曲面解将分解为12其中1z1D1x2y21dSdxdy122yxzD2x2y21dxdydxdyzzdSyx2122dSyxdSyxdSyx)()()(22222221dxdyyxdxdyyxDD)()(22222120103drrd201032drrd221222提示dxdydxdyyxyyxxdS21222222(2)锥面z23(x2y2)被平面z0及z3所截得的部分解223yxzDxyx2y23dxdydxdyzzdSyx2122因而922)()(302202222rdrrddxdyyxdSyxxyD提示dxdydxdyyxyyxxdS2])(326[])(326[12222226计算下面对面积的曲面积分(1)dSyxz)342(其中为平面1432zyx在第一象限中的部分解yxz3424:xyxDxy2310,20:dxdyzzdSyx221dxdy36161436143614)342(dxdydxdydSyxzxyxyDD(2)dSzxxxy)22(2其中为平面2x2yz6在第一象限中的部分解z62x2yDxy0y3x0x3dxdydxdyzzdSyx3122dSzxxxy)22(2dxdyyxxxxyxyD3)22622(2xdyyxyxxdx30230)22236(3427)9103(33023dxxx(3)dSzyx)(其中为球面x2y2z2a2上zh(0ha)的部分解222yxazDxyx2y2a2h2dxdyzzdSyx221dxdyyxaa222dxdyyxaayxayxdSzyxxyD222222)()()(||22haaDaadxdyxyDxy(根据区域的对称性及函数的奇偶性)提示dxdyyxayyxaxdS22222222)()(1dxdyyxaa222(4)dSzxyzxy)(其中为锥面22yxz被x2y22ax所截得的有限部分解22yxzDxyx2y22axdxdydxdyzzdSyx2122dxdyyxyxxydSzxyzxyxyD])([2)(22cos202222)]sin(coscossin[2ardrqrrdda)cossincoscos(sin24422554421564a提示dxdyyxyyxxdS22222217求抛物面壳)10)((2122zyxz的质量此壳的面密度为z.解)(2122yxzDxyx2y22dxdyyxdxdyzzdSyx222211故dxdyyxyxzdSMxyD22221)(21202022121rdrrrd)136(1528求面密度为0的均匀半球壳x2y2z2a2(z0)对于z轴的转动惯量解222yxazDxyx2y2a2dxdyzzdSyx221dxdyyxaa222dxdyyxaayxdSyxIz222022022)()(2002230adryarda4034a提示dxdyyxayyxaxdS22222222)()(1dxdyyxaa222