112

习题1121用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性(1))12(151311n解因为211121limnnn而级数11nn发散故所给级数发散(2)11313121211222nn解因为nnnnnnun111122而级数11nn发散故所给级数发散(3))4)(1(1631521nn解因为145lim1)4)(1(1lim222nnnnnnnn而级数121nn收敛故所给级数收敛(4)2sin2sin2sin2sin32n解因为nnnnnn22sinlim212sinlim而级数121nn收敛故所给级数收敛(5)1)0(11nnaa解因为111211001lim111limaaalaaaannnnnn而当a1时级数11nna收敛当0a1时级数11nna发散所以级数111nna当a1时收敛当0a1时发散2用比值审敛法判定下列级数的收敛性(1)232332232133322nnn解级数的一般项为nnnnu23因为123123lim322)1(3limlim111nnnnuunnnnnnnnn所以级数发散(2)123nnn解因为131)1(31lim33)1(limlim22121nnnnuunnnnnnn所以级数收敛(3)1!2nnnnn解因为12)1(lim2!2)1()!1(2limlim111ennnnnnuunnnnnnnnnn所以级数收敛(3)112tannnn解因为121221lim2tan2tan)1(limlim12121nnnnnnnnnnnnnuu所以级数收敛3用根值审敛法判定下列级数的收敛性(1)1)12(nnnn解因为12112limlimnnunnnn所以级数收敛(2)1)]1[ln(1nnn解因为10)1ln(1limlimnunnnn所以级数收敛(3)112)13(nnnn解因为nnnnnnnnnnnu1212)13(1lim)13(limlim131)311(31lim321212ennnn所以级数收敛(4)1)(nnnab其中ana(n)anba均为正数解因为ababunnnnnlimlim所以当ba时级数收敛当ba时级数发散4判定下列级数的收敛性(1))43()43(3)43(24332nn解这里nnnu)43(因为143431lim)43()43)(1(limlim11nnnnuunnnnnnn所以级数收敛(2)!!33!22!114444nn解这里!4nnun因为10)1(1lim!)!1()1(limlim3441nnnnnnnuunnnnn所以级数收敛(3)1)2(1nnnn解因为121lim1)2(1limnnnnnnnn而级数11nn发散故所给级数发散(4)13sin2nnn解因为1323232lim3sin23sin2lim1111nnnnnnnnnn所以级数收敛(5)1232nn解因为011limlimnnunnn所以级数发散(6))0,0(1211babnababa解因为nabnaun111而级数11nn发散故所给级数发散5判定下列级数是否收敛？如果是收敛的是绝对收敛还是条件收敛？(1)4131211解这是一个交错级数11111)1()1(nnnnnnu其中nun1因为显然unun+1并且0limnnu所以此级数是收敛的又因为1111|)1(|nnnnnu是p1的p级数是发散的所以原级数是条件收敛的(2)1113)1(nnnn解111113|3)1(|nnnnnnn因为131331lim1nnnnn所以级数113nnn是收敛的从而原级数收敛并且绝对收敛(3)2131213121312131432解这是交错级数112131)1(nnn并且1112131|2131)1(|nnnnn因为级数12131nn是收敛的所以原级数也收敛并且绝对收敛(4)5ln14ln13ln12ln1解这是交错级数1111)1ln()1()1(nnnnnnu其中)1ln(1nun因为unun+1并且0limnnu所以此级数是收敛的又因为11)1ln(1nn而级数111nn发散故级数111)1ln(1|)1(|nnnnnu发散从而原级数是条件收敛的(5)11!2)1(2nnnn解级数的一般项为!2)1(21nunnn因为12223222122lim!)2(lim!2lim||lim2nnnnnnnnnnnnnnnnnnu所以级数发散