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习题1251判别下列方程中哪些是全微分方程并求全微分方程的通解(1)(3x26xy2)dx(6x2y4y2)dy0解这里P3x26xy2Q6x2y4y2因为xQxyyP12所以此方程是全微分方程其通解为Cdyyyxdxxyx02202)46(3即Cyyxx3223343(2)(a22xyy2)dx(xy)2dy0解这里Pa22xyy2Q(xy)2因为xQyxyP22所以此方程是全微分方程其通解为Cdyyxdxayx0202)(即a2xx2yxy2C(3)eydx(xey2y)dy0解这里PeyQxey2y因为xQeyPy所以此方程是全微分方程其通解为Cdyyxedxeyyx000)2(即xeyy2C(4)(xcosycosx)yysinxsiny0解原方程变形为(xcosycosx)dy(ysinxsiny)dx0这里P(ysinxsiny)Qxcosycosx因为xQxyyPsincos所以此方程是全微分方程其通解为Cdyxyxdxyx00)coscos(0即xsinyycosxC解(5)(x2y)dxxdy0解这里Px2yQx因为xQyP1所以此方程是全微分方程其通解为Cxdydxxyx002即Cxyx331(6)y(x2y)dxx2dy0解这里Py(x2y)Qx2因为yxyP4xxQ2所以此方程不是全微分方程(7)(1e2)d2e2d0解这里P1e2Q2e2因为xQeyP22所以此方程是全微分方程其通解为Cded02022即(e21)C(8)(x2y2)dxxydy0解这里Px2y2Qxy因为yyP2yxQ所以此方程不是全微分方程2利用观察法求出下列方程的积分因子并求其通解(1)(xy)(dxdy)dxdy解方程两边同时乘以yx1得yxdydxdydx即d(xy)dln(xy)所以yx1为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为xyln(xy)C(2)ydxxdyy2xdx0解方程两边同时乘以21y得02xdxyxdyydx即0)2()(2xdyxd所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为Cxyx22(3)y2(x3y)dx(13y2x)dy0解原方程变形为xy2dx3y3dxdy3x2dy0两边同时乘以21y并整理得0)33(2xdyydxydyxdx即0)(3)1()2(2xydydxd所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为Cxyyx3122(4)xdxydy(x2y2)dx解方程两边同时乘以221yx得022dxyxydyxdx即0)]ln(21[22dxyxd所以221yx为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为x2y2Ce2x(5)(xy2)dx2xydy0解原方程变形为xdxy2dx2xydy0两边同时乘以21x得0222xdxyxydyxdx即0)()(ln2xydxd所以21x为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为Cxyx2ln即xlnxy2Cx(6)2ydx3xy2dxxdy0解方程两边同时乘以x得2xydxx2dy3x2y2dx0即yd(x2)x2dy3x2y2dx0再除以y2得03)(2222dxxydyxxyd即0)(32xyxd所以2yx为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为032xyx3验证)]()([1xygxyfxy是微分方程yf(xy)dxxg(xy)dy0的积分因子并求下列方程的通解解方程两边乘以)]()([1xygxyfxy得0])()([)]()([1dyxyxgdxxyyfxygxyfxy这里)]()([)(xygxyfxxyfP)]()([)(xygxyfyxygQ因为xQxygxyfxygxyfxygxyfyP2)]()([)()()()(所以)]()([1xygxyfxy是原方程的一个积分因子(1)y(x2y22)dxx(22x2y2)dy0解这里f(xy)x2y22g(xy)22x2y2所以3331)]()([1yxxygxyfxy是方程的一个积分因子方程两边同乘以3331yx得全微分方程032323222232dyyxyxdxyxx其通解为Cdyyxyxdxxxyx132221323232即Cyxyx)11ln(ln31222或2212yxeCyx(2)y(2xy1)dxx(12xyx3y3)dy0解这里f(xy)2xy1g(xy)12xyx3y3,所以441)]()([1yxxygxyfxy是方程的一个积分因子方程两边同乘以441yx得全微分方程02112433334dyyxyxxydxyxxy其通解为Cdyyxyxxydxxxyx14333142112即Cyyxyx||ln31133224用积分因子法解下列一阶线性方程(1)xy2y4lnx解原方程变为xxyxyln42其积分因子为22)(xexdxx在方程xxyxyln42的两边乘以x2得x2y2xy4xlnx即(x2y)4xlnx两边积分得Cxxxxdxxyx222ln2ln4原方程的通解为21ln2xCxy(2)ytanxyx解积分因子为xexxdxcos)(tan在方程的两边乘以cosx得cosxysinxyxcosx即(cosxy)xcosx两边积分得Cxxxxdxxyxcossincoscos方程的通解为xCxxycos1tan