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习题1281求下列微分方程的通解(1)yy2y0解微分方程的特征方程为r2r20即(r2)(r1)0其根为r11r22故微分方程的通解为yC1exC2e2x(2)y4y0解微分方程的特征方程为r24r0即r(r4)0其根为r10r24故微分方程的通解为yC1C2e4x(3)yy0解微分方程的特征方程为r210其根为r1ir2i故微分方程的通解为yC1cosxC2sinx(4)y6y13y0解微分方程的特征方程为r26r130其根为r132ir232i故微分方程的通解为ye3x(C1cos2xC2sin2x)(5)02520422xdtdxdtxd解微分方程的特征方程为4r220r250即(2x5)20其根为2521rr故微分方程的通解为ttxeCeCx252251即tetCCx2521)((6)y4y5y0解微分方程的特征方程为r24r50其根为r12ir22i故微分方程的通解为ye2x(C1cosxC2sinx)(7)y(4)y0解微分方程的特征方程为r410即(r1)(r1)(r21)0其根为r11r21r1ir2i故微分方程的通解为yC1exC2exC3cosxC4sinx(8)y(4)2yy0解微分方程的特征方程为r4r210即(r21)20其根为r1r2ir3r4i故微分方程的通解为y(C1C2x)cosx(C3C4x)sinx(9)y(4)2yy0解微分方程的特征方程为r42r3r20即r2(r1)20其根为r1r20r3r41故微分方程的通解为yC1C2xC3exC4xex(10)y(4)5y360解微分方程的特征方程为r45r2360其根为r12r22r33ir43i故微分方程的通解为yC1e2xC2e2xC3cos3xC4sin3x2求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y4y3y0y|x06y|x010解微分方程的特征方程为r24r30即(r1)(r3)0其根为r11r23故微分方程的通解为yC1exC2e3x由y|x06y|x010得10362121CCCC解之得C14C22因此所求特解为y4ex2e3x(2)4y4yy0y|x02y|x00解微分方程的特征方程为4r24r10即(2r1)20其根为2121rr故微分方程的通解为)(2121xCCeyx由y|x02y|x00得0212211CCC解之得C12C21因此所求特解为)2(21xeyx(3)y3y4y0y|x00y|x05解微分方程的特征方程为r23r40即(r4)(r1)0其根为r11r24故微分方程的通解为yC1exC2e4x由y|x00y|x05得5402121CCCC解之得C11C21因此所求特解为yexe4x(4)y4y29y0y|x00y|x015解微分方程的特征方程为r24r290其根为r1225i故微分方程的通解为ye2x(C1cos5xC2sin5x)由y|x00得C10yC2e2xsin5x由y|x015得C23因此所求特解为y3e2xsin5x(5)y25y0y|x02y|x05解微分方程的特征方程为r2250其根为r125i故微分方程的通解为yC1cos5xC2sin5x由y|x02得C12y2cos5xC2sin5x由y|x05得C21因此所求特解为y2cos5xsin5x(6)y4y13y0y|x00y|x03解微分方程的特征方程为r24r130其根为r1223i故微分方程的通解为ye2x(C1cos3xC2sin3x)由y|x00得C10yC2e2xsin3x由y|x03得C21因此所求特解为ye2xsin3x3一个单位质量的质点在数轴上运动开始时质点在原点O处且速度为v0在运动过程中它受到一个力的作用这个力的大小与质点到原点的距离成正比(比例系数k10)而方向与初速一至又介质的阻力与速度成正比(比例系数k20)求反映这质点的运动规律的函数解设数轴为x轴v0方向为正轴方向由题意得微分方程xk1xk2x即xk2xk1x0其初始条件为x|t00x|t0v0微分方程的特征方程为r2k2rk10其根为2412221kkkr2412222kkkr故微分方程的通解为tkkktkkkeCeCx24224112221222由x|t00x|t0v0得02211210vrCrCCC解之得122014kkvC122024kkvC因此质点的运动规律为)(42424122012221222tkkktkkkeekkvx4在如图所示的电路中先将开关K拨向A达到稳定状态后再将开关K拨向B求电压uc(t)及电流i(t)已知E20VC05106F(法)L01H(亨)R2000解由回路电压定律得0RiCqdtdiLE由于qCuc故cuCdtdqicuCdtdi所以0cccuRCuuLC即01cccuLCuLRu已知41021.02000LR861051105.01.011LC故0105110284cccuuu微分方程的特征方程为01051102842rr其根为r119104r2103故微分方程的通解为ttceCeCu34102109.11由初始条件t0时uc20uc0可得9101C91902C因此所求电压为)19(910)(43109.110ttceetu(V)所求电流为)(101819)(3410109.12tteeti(A)5设圆柱形浮筒直径为0.5m铅直放在水中当稍向下压后突然放开浮筒在水中上下振动的周期为2s求浮筒的质量解设为水的密度S为浮筒的横截面积D为浮筒的直径且设压下的位移为x(如图所示)则fgSx又22dtxdmmaf因而22dtxdmxgS即022gSxdtxdm微分方程的特征方程为mr2gS0其根为imgSr2,1故微分方程的通解为tmgSCtmgSCxsincos21即)sin(tmgSAx由此得浮筒的振动的频率为mgS因为周期为T2故222gSm2gSm由1000kg/m3g9.8m/s2D05m得km19545.08.9100022gSm