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习题1291求下列各微分方程的通解(1)2yyy2ex解微分方程的特征方程为2r2r10其根为211rr21故对应的齐次方程的通解为xxeCeCY2211因为f(x)2ex1不是特征方程的根故原方程的特解设为y*Aex代入原方程得2AexAexAex2ex解得A1从而y*ex因此原方程的通解为xxxeeCeCy2211(2)ya2yex解微分方程的特征方程为r2a20其根为rai故对应的齐次方程的通解为YC1cosaxC2sinax因为f(x)ex1不是特征方程的根故原方程的特解设为y*Aex代入原方程得Aexa2Aexex解得211aA从而21*aeyx因此原方程的通解为2211sincosaeaxCaxCyx(3)2y5y5x22x1解微分方程的特征方程为2r25r0其根为r10252r故对应的齐次方程的通解为xeCCY2521因为f(x)5x22x10是特征方程的单根故原方程的特解设为y*x(Ax2BxC)代入原方程并整理得15Ax2(12A10B)x(4B5C)5x22x1比较系数得31A53B257C从而xxxy2575331*23因此原方程的通解为xxxeCCyx2575331232521(4)y3y2y3xex解微分方程的特征方程为r23r20其根为r11r22故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e2x因为f(x)3xex1是特征方程的单根故原方程的特解设为y*x(AxB)ex代入原方程并整理得2Ax(2AB)3x比较系数得23AB3从而)323(*2xxeyx因此原方程的通解为)323(2221xxeeCeCyxxx(5)y2y5yexsin2x解微分方程的特征方程为r22r50其根为r1212i故对应的齐次方程的通解为Yex(C1cos2xC2sin2x)因为f(x)exsin2xi12i是特征方程的根故原方程的特解设为y*xex(Acos2xBsin2x)代入原方程得ex[4Bcos2x4Asin2x]exsin2x比较系数得41AB0从而xxeyx2cos41*因此原方程的通解为xxexCxCeyxx2cos41)2sin2cos(21(6)y6y9y(x1)e3x解微分方程的特征方程为r26r90其根为r1r23故对应的齐次方程的通解为Ye3x(C1C2x)因为f(x)(x1)e3x3是特征方程的重根故原方程的特解设为y*x2e3x(AxB)代入原方程得e3x(6Ax2B)e3x(x1)比较系数得61A21B从而)2161(*233xxeyx因此原方程的通解为)2161()(233213xxexCCeyxx(7)y5y4y32x解微分方程的特征方程为r25r40其根为r11r24故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e4x因为f(x)32x(32x)e0x0不是特征方程的根故原方程的特解设为y*AxB代入原方程得4Ax(5A4B)2x3比较系数得21A811B从而81121*xy因此原方程的通解为81121421xeCeCyxx(8)y4yxcosx解微分方程的特征方程为r240其根为r2i故对应的齐次方程的通解为YC1cos2xC2sin2x因为f(x)xcosxe0x(xcosx0sinx)ii不是特征方程的根故原方程的特解设为y*(AxB)cosx(CxD)sinx代入原方程得(3Ax3B2C)cosx(3Cx2A3D)sinxxcosx比较系数得31AB0C092D从而xxxysin92cos31*因此原方程的通解为xxxxCxCysin92cos31sin2cos21(9)yyexcosx解微分方程的特征方程为r210其根为ri故对应的齐次方程的通解为YC1cosxC2sinx因为f(x)f1(x)f2(x)其中f1(x)exf2(x)cosx而方程yyex具有Aex形式的特解方程yycosx具有x(BcosxCsinx)形式的特解故原方程的特解设为y*Aexx(BcosxCsinx)代入原方程得2Aex2Ccosx2Bsinxexcosx比较系数得21AB021C从而xxeyxsin221*因此原方程的通解为xxexCxCyxsin221sincos21(10)yysin2x解微分方程的特征方程为r210其根为r11r21故对应的齐次方程的通解为YC1exC2ex因为xxxf2cos2121sin)(2而方程21yy的特解为常数A方程xyy2cos21具有Bcos2xCsin2x形式的特解故原方程的特解设为y*A+Bcos2xCsin2x代入原方程得xxCxBA2cos21212sin52cos5比较系数得21A101BC0从而xy2cos10121*因此原方程的通解为212cos10121xeCeCyxx2求下列各微分方程满足已给初始条件的特解(1)yysinx0y|x1y|x1解微分方程的特征方程为r210其根为ri故对应的齐次方程的通解为YC1cosxC2sinx因为f(x)sin2xe0x(0cos2xsin2x)ii是特征方程的根故原方程的特解设为y*Acos2xBsin2x代入原方程得3Acos2x3Bsin2xsin2x解得A031B从而xy2sin31*因此原方程的通解为xxCxCy2sin31sincos21由y|x1y|x1得C11312C故满足初始条件的特解为xxxy2sin31sin31cos(2)y3y2y5y|x01y|x02解微分方程的特征方程为r23r+2=0其根为r11r22故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e2x容易看出25*y为非齐次方程的一个特解故原方程的通解为25221xxeCeCy由y|x01y|x02得221252121CCCC解之得C15272C因此满足初始条件的特解为2527521xxeey(3)y10y9ye2x76|0xy733|0xy解微分方程的特征方程为r210r90其根为r11r29故对应的齐次方程的通解为YC1exC2e9x因为f(x)e2x2不是特征方程的根故原方程的特解设为y*Ae2x代入原方程得(4A20A9A)e2xe2x解得71A从而xey271*因此原方程的通解为xxxeeCeCy292171由76|0xy733|0xy得2121CC因此满足初始条件的特解为xxxeeey29712121(4)yy4xexy|x00y|x01解微分方程的特征方程为r210其根为r11r21故对应的齐次方程的通解为YC1exC2ex因为f(x)4xex1是特征方程的单根故原方程的特解设为y*xex(AxB)代入原方程得(4Ax2A2B)ex4xex比较系数得A1B1从而y*xex(x1)因此原方程的通解为y*C1exC2exxex(x1)由y|x00y|x01得1102121CCCC解之得C11C21因此满足初始条件的特解为yexexxex(x1)(5)y4y5y|x01y|x00解微分方程的特征方程为r24r0其根为r10r24故对应的齐次方程的通解为YC1C2e4x因为f(x)55e0x0是特征方程的单根故原方程的特解设为y*Ax代入原方程得4A545A从而xy45*因此原方程的通解为xeCCyx45421由y|x01y|x00得16111C1652C因此满足初始条件的特解为xeyx45165161143大炮以仰角、初速度v0发射炮弹若不计空气阻力求弹道曲线解取炮口为原点炮弹前进的水平方向为x轴铅直向上为y轴弹道运动的微分方程为022dtdxgdtyd且满足初始条件cos|,0|sin|,0|000000vxxvyytttt易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为20021sincosgttvytvx4在R、L、C含源串联电路中电动势为E的电源对电容器C充电已知E20VC02F(微法)L01H(亨)R1000试求合上开关K后电流i(t)及电压uc(t)解(1)列方程由回路定律可知EuuCRuCLccc即LCEuLCuLRuccc1且当t0时uc0uc0已知R1000L0.1HC02F故4101.01000LR76105102.01.011LC9771020105105ELCE因此微分方程为9741010510cccuuu(2)解方程微分方程的特征方程为r2104r51070其根为r1251035103i因此对应的齐次方程的通解为])105sin()105cos([32311053tCtCeutc由观察法易知y*20为非齐次方程的一个特解因此非齐次方程的通解为20])105sin()105cos([32311053tCtCeutc由t0时uc0uc0得C120C220因此])105sin()105[cos(2020331053tteutc(V))]105sin(104102.0)(3105263teuuCtitcc(A)5一链条悬挂在一钉子上起动时一端离开钉子8m另一端离开钉子12m分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力解设在时刻t时链条上较长的一段垂下xm且设链条的密度为则向下拉链条下滑的作用力Fxg(20x)g2g(x10)由牛顿第二定律有20x2g(x10)即gxgx10微分方程的特征方程为0102gr其根为101gr102gr故对应的齐次方程的通解为tgtgeCeCx102101由观察法易知x*10为非齐次方程的一个特解故通解为10102101tgtgeCeCx由x(0)12及x(0)0得C1C21因此特解为101010tgtgeex