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习题141两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解不一定例如当x0时(x)2x(x)3x都是无穷小但32)()(lim0xxx)()(xx不是无穷小2根据定义证明(1)392xxy当x3时为无穷小;(2)xxy1sin当x0时为无穷小证明(1)当x3时|3|39||2xxxy因为0当0|x3|时有|3|39||2xxxy所以当x3时392xxy为无穷小(2)当x0时|0||1sin|||||xxxy因为0当0|x0|时有|0||1sin|||||xxxy所以当x0时xxy1sin为无穷小3根据定义证明函数xxy21为当x0时的无穷大问x应满足什么条件能使|y|104？证明分析2||11221||xxxxy要使|y|M只须Mx2||1即21||Mx证明因为M021M使当0|x0|时有Mxx21所以当x0时函数xxy21是无穷大取M104则21014当2101|0|04x时|y|1044求下列极限并说明理由(1)xxx12lim;(2)xxx11lim20解(1)因为xxx1212而当x时x1是无穷小所以212limxxx(2)因为xxx1112(x1)而当x0时x为无穷小所以111lim20xxx5根据函数极限或无穷大定义填写下表解f(x)Af(x)f(x)f(x)xx000使当0|xx0|时有恒|f(x)A|M00使当0|xx0|时有恒|f(x)|MM00使当0|xx0|时有恒f(x)MM00使当0|xx0|时有恒f(x)Mxx000使当0xx0时有恒|f(x)A|M00使当0xx0时有恒|f(x)|MM00使当0xx0时有恒f(x)MM00使当0xx0时有恒f(x)Mxx000使当0x0x时有恒|f(x)A|M00使当0x0x时有恒|f(x)|MM00使当0x0x时有恒f(x)MM00使当0x0x时有恒f(x)Mx0X0使当|x|X时有恒|f(x)A|0X0使当|x|X时有恒|f(x)|M0X0使当|x|X时有恒f(x)M0X0使当|x|X时有恒f(x)Mx0X0使当xX时有恒|f(x)A|0X0使当xX时有恒|f(x)|M0X0使当xX时有恒f(x)M0X0使当xX时有恒f(x)Mx0X0使当xX时有恒|f(x)A|0X0使当xX时有恒|f(x)|M0X0使当xX时有恒f(x)M0X0使当xX时有恒f(x)M6函数yxcosx在()内是否有界？这个函数是否为当x时的无穷大？为什么？解函数yxcosx在()内无界这是因为M0在()内总能找到这样的x使得|y(x)|M例如y(2k)2kcos2k2k(k012)当k充分大时就有|y(2k)|M当x时函数yxcosx不是无穷大这是因为M0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)|M例如0)22cos()22()22(kkky(k012)对任何大的N当k充分大时总有Nkx22但|y(x)|0M7证明函数xxy1sin1在区间(01]上无界但这函数不是当x0+时的无穷大证明函数xxy1sin1在区间(01]上无界这是因为M0在(01]中总可以找到点xk使y(xk)M例如当221kxk(k012)时有22)(kxyk当k充分大时y(xk)M当x0+时函数xxy1sin1不是无穷大这是因为M0对所有的0总可以找到这样的点xk使0xk但y(xk)M例如可取kxk21(k012)当k充分大时xk但y(xk)2ksin2k0M