45曲面及其方程

曲面及其方程1水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．曲面的实例：一、曲面方程的概念2以下给出几例常见的曲面例建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.解设),,(zyxM是球面上任一点，RMM||0根据题意有Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx所求方程为3例求与原点O及)4,3,2(0M的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程.解设),,(zyxM是曲面上任一点，,21||||0MMOM根据题意有,21432222222zyxzyx.911634132222zyx所求方程为4例已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程.设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222321zyx,412222zyx化简得所求方程.07262zyx解5以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面的方程，研究曲面形状．(讨论建立旋转曲面、柱面的曲面方程)(讨论二次曲面的图形)（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．6播放二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线.定义平行于定方向并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面.242526272829303132333435二、柱面36定义平行于定方向并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面.观察柱面∑的形成过程:这条定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线.注:柱面由一族具有定方向的平行直线所生成.每一条母线都相交的曲线作为都可准线.一般柱面方程的建立设柱面Σ的准线为母线的方向为求柱面方程.:C1(,,)0Fxyz2(,,)0Fxyz(,,)vlmnCvlmn(,,)(,,)Mxyz存在准线C上一点0000(,,)Mxyz使得0MMv存在使得消去即得柱面方程(,,)Mxyz0000(,,)Mxyz000(,,)xyxyzz0000(,,)Mxyz000xyxyzzlmn1000(,,)0Fxyz2000(,,)0Fxyz000,,xyzLM在某一母线上L例在直角坐标系下,母线方向垂直于柱面的准线为准线所在平面，求柱面方程.解准线C为与的交线曲面平面准线所在的平面为C母线的方向为n(1,0,2)n(1,0,2)Mxyz(,,)Mxyz0000(,,)xyz22000xz425y2xz252为所求柱面方程yMxz(,,):C22xyz2xz2xz20xz000xyxyzz12022xyz002xz定理若一个柱面母线平行于z轴,则它的方程反之,如果不含z,则它一定表示一个母线平行于z轴的柱面.中不含z；Fxy(,)0oxyz一个三元方程中,注:在仿射坐标系中也成立.oxyz设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,Σ与xoy平面的交线为C则C的方程为z0母线的方向为3(0,0,1)eMxyz(,,)(,,)Mxyz0000(,,)Mxyzxyxzyz000100z00xx0yy0z00故Σ的方程为方程中不含z.证Cxy,,00)z,y,x(G0000)z,y,x(G00),y,x(G0)y,x(F即0)(G方程Fxy(,)0oxyzC(,)0Fxy在空间直角坐标系中,l以C为准线,作母线平行于z轴的柱面Σ.它一般表示一条曲线C.Mxyz(,,)空间中任一点M1M1M(,,)xyzM1(,)xy(0,,)xyMxyz(,,)Mxy1(,,0)xy(,)满足曲线C的方程Fxy(,)0Fxy(,)0柱面Σ的方程为xy(,,0)C在xy平面上,在平面直角坐标系中的坐标为xy在平面上的投影为xyM三元方程中,如果不含z:Fxy(,)0则它一定表示一个母线平行于z轴的柱面.反之,任何一个母线平行于z轴的柱面,它的方程中一定不含z.oxyz方程(,)0Fxy它表示以C准线,母线平行于z轴的柱面Σ它一般表示一条曲线C.oxyC在空间直角坐标系中,z例如方程yx2表示一条抛物线.oxyoxyz在空间直角坐标系中,抛物线为准线,母线平行于z轴的柱面.称为抛物柱面.在平面上xy在平面直角坐标系中xy表示以这条表示一条双曲线.xyab22221oxyxoyz称为双曲柱面.方程在空间直角坐标系中,表示以这条双曲线为准线,母线平行于z轴的柱面.在平面直角坐标系中xy表示一条椭圆.xyab22221oxyxoyz称为椭圆柱面.方程在空间直角坐标系中,表示以这条椭圆为准线,母线平行于z轴的柱面.在平面直角坐标系中xyoxy在空间直角坐标系中,表示一条直线.xy1oxyz表示过这条直线yxoxyoxyz且平行于过再如在平面直角坐标系中xyz轴的平面.同理,方程Fxz(,)0在xz平面坐标系上在空间直角坐标系中,一般xzoyC表示以这条曲线为准线,母线平行于y轴的柱面.例如在xz平面直角坐标系中表示一椭圆.xzab22221xzo在空间直角坐标系中,表示以这条椭圆为准线,母线平行于y轴的椭圆柱面.y表示一条曲线C.方程Fyz(,)0在yz平面坐标系上在空间直角坐标系中,一般表示表示以这条曲线C为准线,母线平行于x轴的柱面.xzoyC例如在yz平面直角坐标系中表示一个圆.在空间直角坐标系中,表示以这圆为准线,母线yzr222xzoy一条曲线C.平行于x轴的圆柱面.为柱面上任意一点设),,(zyxM),0,,(,000yxMM对应准线上一点沿母线lMM//0则11100zyyxxzyyzxx00,.1)()(22为所求柱面方程zyzxMM0.,),1(求此柱面方程：母线平行于直线半径为中心在原点，平面的圆周柱面的准线是zyxlxoy例解40给定空间一点M0和一条不过M0的曲线CC所有过点M0且与曲线C相交的直线构成的曲面称为锥面.0M定点M0称为锥面的顶点,定曲线C称为锥面的准线.锥面上不过顶点,且与每一条母线都相交的曲线都可作为锥面的准线.动直线称为锥面的母线.l定义注:锥面由一族共点的直线所生成.三、锥面准线为:C1(,,)0Fxyz2(,,)0Fxyz求锥面的方程设锥面Σ的顶点为0000(,,)MxyzC000(,,)xyz(,,)MxyzM在某一母线上l(,,)Mxyz存在准线C上一点1111(,,)Mxyz1111(,,)Mxyz0MM000xyxyzz01xx01yy01zz1111(,,)0Fxyz1121(,,)0Fxyz即得锥面方程0M10MM111z,y,x消去例求顶点为(4,0,3)准线为:C221259xy0z的锥面方程.C(4,0,3)(,,)Mxyz1111(,,)Mxyz0M(,,)Mxyz43xyz14x1y13z11221259xy1252343zxz19233yz1解为所求锥面方程10z定义空间内,一条曲线C,绕定直线旋转,L所产生的曲面,称为旋转曲面.L曲线C定直线LCM母线上任意一点旋转一周后,形成一个圆,称为纬圆(或纬线).过轴的半平面L与旋转曲面的交线称为经线.经线为平面曲线,可以作为母线;但母线C可以是空间曲线.称为旋转曲面的母线.称为旋转曲面的轴.四、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.定义播放789101112131415161718以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.四、旋转曲面定义19LC绕轴旋转一周产生,经线即经线总可以作为最初的母线来产生旋转曲面.特别地,经线为平面曲线,可取经线所在的平面为坐标平面,旋转轴L为坐标轴.xzyoSC此时,具有特殊的形式.旋转曲面的方程,旋转曲面也可由其取旋转轴为z轴为yoz平面C0x(,)0fyz(,,)Mxyz旋转曲面S0000(,,)MxyzC使得000),(,xyz0MM且OM0OM00zz222xyz002202xyz00x00(,)0yzf0zz20y22xy22xy0y0f22,xyz为S的方程(,,)xyz取经线所在的平面xzyoSCM0M000(,,)xyxyzzk()0,0,1xzyoCC0x(,)0fyzS:0Sf22,xyz绕z轴旋转一周,例如xzyo0x绕z轴旋转一周,所成旋转曲面的方程为即得曲面S.221bc222221xyzbc222xy2z22221yzbcC又如22ypzzyox0xCC此抛物线绕z轴旋转一周,所成旋转曲面的方程为222xy即222xypz称为旋转抛物面.2pz同理,yoz平面上的曲线C0x(,)0fyz0f22xz,yxCzyo绕y轴旋转一周,所成旋转曲面SS的方程为(,)0fxy0zCxoy平面上的曲线0f22,xzy绕y轴旋转一周,所成旋转曲面SS的方程为zxoyCyxzo(,)0fxz0yCCxoz平面上的曲线0f22yz,x绕x轴旋转一周,所成旋转曲面SS的方程为坐标平面内的曲线C,规律如下:绕此坐标平面内的坐标轴旋转时,得到旋转曲面S,为求S的方程,只要将C在此坐标平面内的方程,保留与旋转轴而以其它两个坐标的平方和的平方根代替方程中的另一个坐标即可.一条同名的坐标,例将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx旋转双曲面解22轴；轴和分别绕面上的双曲线zxczaxxoz1)1(2222绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面pzyx222旋转抛物面解解23轴；轴和绕面上的椭圆zyczayyoz1)2(2222.2)3(2轴绕面上的抛物线zpzyyoz二次曲面1二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面.相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．2（一）椭球面1222222czbyax椭球面与三个坐标面的交线：,012222yczax.012222xczby,012222zbyax图形有界，并且关于坐标平面对称.3ozyx椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面的交线为椭圆kz同理与平面x=k和y=k的交线也是椭圆.kzkccbykccax1)()(2222222222ck||当k由0变到c时,椭圆由大变小,最后缩成一点。4椭球面的几种特殊情况：,)1(ba1222222czayax——旋转椭球面12222czax由椭圆绕轴旋转而成．z122222czayx方程可写为5,)2(cba1222222azayax——球面.2222azyx.)(222222kzkccayx截面上圆的方程方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：与平面的交线为圆.